Zwei- und dreigliedrige Untergruppen gegebener Gruppen. 555 



so zu bestimmen, dass 



{X,X,) == cXJ -^ qXJ 



wird. Dies liefert ausser c = 0: 



{q + 1)«3 = 0, 



QU^ = 0, 



sodass 



P ! 



0^+10=0 

 q\ 



sein muss. Wieder ist q = — 1 einfache, p = Doppelwurzel. Für 

 letztere aber verschwinden auch alle zweireihigen Unterdeterminanten. 

 Während daher die einfache Wurzel q = — \ nur die eine Unter- 

 gruppe 



liefert, gehören zu ^ = cx)^ zweigliedrige Untergruppen, weil sich 

 die Gleichungen zur Bestimmung von «g, «3, «4 für q = auf nur 

 eine reducieren. Sie geben «3 = 0, also die 00^ Gruppen 



yg. ^P + i^^V- 

 Sie werden durch alle Geraden eines Strahlenbüschels dargestellt. 

 Auch diese Ergebnisse sind aus Fig. 48 von vornherein ersichtlich. 

 Setzen wir drittens 



XJ=p, 



so ergeben sich für «2» ^3> ^4 ^^ 



X.>f^:tt^fl-\- a.y<i-\r cc^xp 

 die Bedingungen: 



sodass () = dreifache Wurzel von D(^)=0 ist, für die auch alle 

 Elemente der Determinante verschwinden. Demnach gehen 00^ Unter- 

 gruppen hervor, nämlich alle: 



p Xfi-{- fiyq + vxp. 

 (Vgl. Fig. 48). - 



Wir kehren zur allgemeinen Betrachtung zurück. Die Gleichung ^^^-^^»che^ 

 J)(q) = ist in Q vom (r — 1)^"^ Gerade. Ist q eine (/-fache Wurzel i>{q) = ^- 

 der Gleichung, so können für sie bekanntlich alle ünterdeterminanten 

 von D(q) \on höchstens {r — l) — (q — l) Reihen verschwinden, brauchen 



