556 Kapitel 20, § 1. 



es aber nicht zu thuu. Verschwinden etwa alle {p + 1)- reihigen 

 Determinanten, nicht aber alle jp- reihigen, sodass 



p -\- l^r — q 



ist, so reducieren sich die Gleichungen (2) für die fragliche 3- fache 

 Wurzel auf gerade p von einander unabhängige. Sie bestimmen dem- 

 nach von den r — 2 Verhältnissen der «^ • • «r gerade p, während die 

 übrigen r — 2—p willkürlich bleiben. Also ergeben sich in diesem 

 Falle cx)'— ^-2 zweigliedrige Untergruppen 



XJ, a,X,f -\. . . + a,X,f\ 

 Dieselben bilden eine lineare Schar insofern, als der allgemeine Aus- 

 druck «2X2/"+ • . + UrXrf linear aus r—p — 1 von einander unab- 

 hängigen ableitbar ist. 

 tk.n'^anTr ^^^^ wolleii die Configuration aller zweigliedrigen Untergruppen die 



uroSr'St^'f gegebene infinitesimale Transformation XJ enthalten, nur flüchtig be- 

 dcrseibon rühren und benutzen dazu ihre Deutung als Geraden im Räume Br-i der 

 .n. lansf-adjungierten Gruppe E,f..Erf, die durch den Punkt hindurchgehen der 

 XJ darstellt. Sind ^ 



?n ?2 • • • Qn (tc ^r ~ 1) 



alle von einander verschiedenen Wurzeln von 2)(?) = und ist allgemein 

 Qj gerade Qj- fache Wurzel, sodass 



2i + f?2 H ^ qM = r— 1 



ist, verschwinden ferner für qj alle (pj + l) -reihigen Unterdeterminanten 

 von I>{q), nicht aber alle i?,-- reihigen, sodass also 



B + 1 > r — gj (i = 1, 2 . . 7t) 



ist, so bilden die betreffenden Geraden n ebene Mannigfaltigkeiten 3lK . 31"^ 

 durch den Punkt XJ. Und zwar ist 3IJ gerade (r — pj — l)-fach aus- 

 gedehnt. Je zwei dieser Mannigfaltigkeiten haben ausser X^/" keinen Punkt 

 gemein, überhaupt haben diese Mannigfaltigkeiten so allgemeine Lage gegen 

 einander, als es die Gemeinsamkeit des Punktes XJ zulässt. Wenn z. B. 

 31\ M\ 1/3 Geraden sind, so liegen diese nicht in einer Ebene, denn sonst 

 würden alle Geraden des Büschels zweigliedrige Untergrui^pen darstellen, 

 also die Ebene eine der 31 darstellen. Es ist dies eine unmittelbare Folge 

 aus wohlbekannten Sätzen über das Verhalten der Punkte und ebenen 

 Mannigfaltigkeiten eines Raumes (x^ . . Xn) bei einer infinitesimalen pro- 

 jectiven (bez. linearen homogenen) Transformation. 



Z. B. bei einer viergliedrigen Gruppe G^^ haben wir die Deutung in 

 einem Räume B^ vorzunehmen. Die durch einen Punkt des B^ gehenden 

 Geraden, die zweigliedrige Untergruppen darstellen, können eine der folgen- 

 den sechs Configurationen bilden: 



Erstens: drei Geraden, die nicht in einer Ebene liegen. 



Zweitens: zwei Geraden. 



Drittens: eine Gerade. 



