Zwei- und dreigliedriger Untergruppen gegebener Gruppen. 557 



Viertens: Alle Geraden eines Büscliels und eine einzelne Gerade. 



Fünftens: Alle Geraden eines Büschels. 



Sechstens: Alle Geraden des Bündels durch den Punkt. 



Betrachten wir die Gesamtheit aller zweigliedrigen Untergruppen ^fJjf^"i'e'V 

 der gegebenen Gruppe X^/". . Xrf und deuten wir sie als Geraden im unter^^r 

 Räume Rr—i der adjungierten Gruppe E^f..Erf, so geben diese Ge- 

 raden in dem Rr—i ein Geradensystem von der Art, dass durch jeden 

 Punkt nach Satz 1 mindestens eine der Geraden geht. Die Geraden, 

 die mveigliedrige Untergruppen darstellen, erfüllen also den gansen Baum. 

 Allgemein gehen durch jeden Punkt lineare Mannigfaltigkeiten von 

 Geraden. In einem Räume von drei Dimensionen — d. h. bei einer 

 viergliedrigen Gruppe — ist das Gebilde also entweder ein StraJüen- 

 system oder ein linearer Liniencomplex oder ein Aggregat solcher, ausser 

 denen noch einzelne Strahlenhüschel auftreten können, oder endlich es 

 besteht aus allen Geraden des Bawnes. 



Entsprechend verhält es sich in höheren Räumen, bei mehr als 

 viergliedrigen Gruppen. 



Beispiel: Bei der öfters besprochenen Gruppe p q yQ xp 

 bilden die Geraden, die Untergruppen im Räume B.^ der adjungierten 

 Gruppe (darstellen, erstens das Strahlensystem erster Ordnung und 

 erster Klasse, das aus allen Geraden besteht, die zwei Geraden schnei- 

 den, zweitens das Bündel aller Strahlen durch den Bildpunkt von p, 

 drittens das Bündel aller Strahlen durch den Bildpunkt von q, viertens 

 eine Ebene, deren sämtliche Geraden Untergruppen darstellen. Siehe 

 § 3 des 18. Kap., Fig. 48. 



Das Problem, das wir uns zu Anfang stellten, können wir ana- -^^'igo- 



lueinere 



lytisch etwas allgemeiner fassen, indem wir die gegebene infinitesimaleFassutig des 

 Transformation mit e^ X^ /" -f- • • -f- erXrf bezeichnen. Wir suchen also 

 jetzt alle zweigliedrigen Untergruppen, denen diese gegebene infinite- 

 simale Transformation: 



e,XJ + ■ ' + erXrf 

 angehört. 



Alsdann handelt es sich darum, die Coefficienten s^ . . Sr in 

 so zu bestimmen, dass der Klammerausdruck 



( r r \ 1 ■ r 



^e^Xif, ^e,xA =^e,B,Ca.sXsf 

 1 1 / .s/, A- 



die Form 



