560 Kapitel 20, § 1. 



jedes der erwähnten Gleiehungensysteme, die specielle Wertsysteme 

 (e^ . . €r) definieren, bei der adjungierten Gruppe invariant bleibt*). 



Zweites Wenden wir uns ietzt zu dem durch (6) ausgedrückten zweiten 



Problem. "^ . i /ix n -r, i^ 



Problem. Hier haben wir s^ . . Sr nach (4) den Bedingungen zu unter- 

 werfen : 



r 



(11) "^ '^keiEkCi,,, = (?e, (s = 1, 2 . . r). 



Es sind dies r lineare, aber niclit homogene Gleichungen für e^ . . Sr. 

 Ihre Determinante ist nach (10) sicher Null. Hieraus folgt, dass es 

 nicht immer Lösungen s^. . 8r zu geben braucht. Vielmehr wird es 

 vorkommen können, dass zu einem gegebenen Wertsystem e^. . er kein 

 W^ertsystem e^ . . Sr existiert, das (11) erfüllte ausser dem trivialen 

 System Ei = e,- für (? = 0. Man könnte sich geradezu die Aufgabe 

 stellen, die Wertsysteme e^ . . e^ zu bestimmen, welche Lösungen E^..Sr 

 zulassen. Wenn aber ein Lösungensystem e^ . . Er existiert, so erfüllen 

 offenbar auch e^ -\- Ae^, ..£,.-{- ICr die Forderungen (11), da die Deter- 

 minante identisch Null ist. Dies ist aber auch begrifflich einleuch- 

 tend. Wir kommen in § 6 auf dieses Problem zurück. 

 Beispiel. Beispiel: Bei der Gruppe 



p xp x^p 

 lautet (5) : 



,^r. I {f-l h — ^. h)P + 2 (Ct £3 — ^3 h)^P + (^2 H — ^3 h)x^P 



i = q{e^p -\- s^xp + Eo^X^p). 



Wir erhalten also als Gleichungensystem (8): 

 (8') \2e^E^ — 2e^Ey = QE^, 



^2^3 ^3^2 9^3) 



daher als Gleichung (9): 



*) Schon in der ersten kurzen Arbeit (Verb. d. Ges. d. Wiss. zu Christiania 

 1884, Nr. 15, S. 1 — 4), in der Lie explicite den Begriff und die Bezeichnung: 

 adjungierte Gruppe einführte, machte er ausdrücklich aufmerksam auf die Wichtig- 

 keit der bei der adjungierten Gruppe invarianten Mannigfaltigkeiten. In den 

 Math. Ann. Bd. 25, S. 149 — 151, gab er eine bervorragend wichtige Anwen- 

 dung dieser Gleichungensysteme, deren Bestimmung seine allgemeinen Theorien 

 leisten. 



