Zwei- und dreigliedrige Untergruppen gegebener Gruppen. 



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(9') 



oder ausmultipliciert: 



— e^ 



2e, 



— Q 



— e^ 







pr()^ + 4e..,,-e,^] = 0. 



Q tritt, wie es sein muss, als Factor heraus. Ausserdem ergeben sieh 

 zwei im allgemeinen verschiedene Wurzeln q, und q^: 





Nur wenn c^p + ^2^P H~ ^s^^i' so beschaffen ist, dass c, + ^2^ "l~ ^3^^ 

 ein vollständiges Quadrat ist, ergiebt sich die Doppelwurzel p == 0, 

 für die aber nicht alle zweireihigen Unterdeterminanten von (9') Null 

 sind. Bei der. Deutung in der Ebene der adjungierten Gruppe, die 

 wir in einem Beispiel in § 3 des 18. Kap. besprachen, tritt bekannt- 

 lich ein gewisser Kegelschnitt auf (vgl. die damalige Fig. 45). Es 

 sind nun die gesuchten infinitesimalen Transformationen dargestellt 

 durch die beiden Berührpunkte (f^, £^, £3) der vom Punkte (e^, c^, e^) 

 ausgehenden Tangenten des Kegelschnittes. Sie fallen zusammen und 

 zwar mit (Cj, 62, e.^) selbst, wenn letzterer Punkt auf dem Kegelschnitt 

 liegt. Im letzteren Fall ist die Lösung trivial. 



Das zweite Problem wird in unserem Beispiele dargestellt durch 

 die Forderung: 



(C) 



(11') 



(cifg — e^s,)2) + 2(c,£s — e^B,)xp + (c,£3 

 = ö(eii) + e^xp + c.,x^p). 



Diese giebt das Gleichungensystem: 



26^ £3 — 2e3fi = öe.^, 



> Ga Co — — ßn Co ■" O Co ■ 



e^e.^x^p 



Da die Determinante der linken Seiten hinsichtlich Cj, s^, «3 identisch 

 verschwindet, so lassen sich diese Forderungen nur dann erfüllen, 

 wenn eine der Gleichungen bloss eine Folge der beiden andern ist. 

 Multiplicieren wir sie bez. mit 2^3, — Cg? ^e^ und addieren sie, so 

 kommt links Null. Also lassen sie sich, da 6^0 sein soll, dann 

 und nur dann erfüllen, wenn e,, e^, e^ der Bedingung genügen: 



e^^ — Ae,e. = 0. 



Demnach muss diese Gleichung eine bei der adjungierten Grnppe in- 



Lie, Continuierliche Gruppen. i{G 



