Zwei- und dreigliedrige Untergruppen gegebener Gruppen. 563 



jede zweigliedrige Untergruppe einer Gruppe in einer dreigliedrigen 

 Untergruppe enthalten ist. 



Zu diesem Zweck formulieren wir einen ausserordentlich wich- 

 tigen, wenn auch naheliegenden Satz, den wir schon oben bei Gelegen- 

 heit der Zerfällung des Problems in einzelne bewiesen haben, und den 

 wir früher hier und da ableiteten und benutzten: 



Satz 2 : Jede zweigliedrige Gruppe lässt sich hei passender Auswahl ^^*^,."^i'"' 

 ihrer infinitesimalen Transformationen X^f, X^f auf eine solche Form <i>-ui.i)eu. 

 bringen, dass entweder 



oder al)cr 



wird *). 



Von diesem Satz machen wir insofern augenblicklich Gebrauch, 

 als er einschliesst, dass eine zweigliedrige Gruppe stets integrabel ist. 

 (Vgl- § 5 dös vorigen Kapitels.) 



Nach dieser Vorbemerkung seien X^f und X.^f zwei solche in- zweigi. 

 finitesimale Transformationen emer Gruppe X^f . . Xrf, die eine zwei- cnthaiton 



T TT i. 1 "^ droisl. 



gliedrige Untergruppe erzeugen. Wir deuten diese Untergruppe als untergr. 

 eine Gerade im Räume Br—x der adjungierten Gruppe E^f . . Erf 

 Alsdann bleibt die Gerade bei E^f und E^f invariant. (Vgl. § 3 des 

 18. Kap.) Durch die Gerade gehen nun oo'-^ ebene zweifach aus- 

 gedehnte Mannigfaltigkeiten M.^, die ihrerseits eine lineare (r — 3) fach 

 ausgedehnte Mannigfaltigkeit M,._3 bilden. Da nun sowohl die infini- 

 tesimale Transformation E^f als auch die infinite'simale Transforma- 

 tion E^f der adjungierten Gruppe die Gerade in Ruhe lässt, so trans- 

 formieren sie die ebene Mannigfaltigkeit Mr-s aller 31^ in sich und zwar 

 durch eine Gruppe EJ, E^f, die mit der Gruppe E^f E.^f isomorph 

 ist. (Vgl. Satz 3G, § 5 des 19. Kap.) Die Gruppe XJ, XJ ist nach 

 Satz 2 integrabel. Nach Theorem 33, § 2 des 18. Kap., ist also auch 

 die Gruppe E^f, E^f folglich auch die isomorphe Gruppe EJ, E^f inte- 

 grabel. Nach Satz 19, § 4 des vorigen Kap., lässt die Gruppe E^f, E^f 

 deshalb auch eine jener oo'— ^ ebenen M^ in Ruhe. Wir können an- 

 nehmen, etwa Xg/" habe seinen Bildpunkt in eben dieser invarianten 

 ebenen M.^. Nach Satz 3, § 3 des 18. Kap., lassen sich alsdann (X^Xj) 

 und (X2X.5) linear aus X^f X.^f, X^g/" ableiten. Es erzeugen also diese 

 drei infinitesimalen Transformationen eine dreigliedrige Gruppe. . Also 

 folgt: 



*) Diesen Satz benutzte Lie zum ersten Male in den Göttinger Nachr. 

 Decbr. 1874. 



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