564 Kapitel 20, §§ 1, 2. 



Satz 3 : Jede Biveigliedrige Untergruppe einer r-gliedrigen Gruppe 

 X^f.. Xrf gehört mindestens einer dreigliedrigen Untergruppe an. 



Man sieht am Verlaufe des Beweises, dass ein Satz, dass jede drei- 

 gliedrige einer viergliedrigen Untergruppe angehöre, sich nicht ebenso 

 beweisen Hesse. In der That ist ein solcher Satz auch nicht richtig, 

 wie etwa die Gruppe p, q, xq, xp — yq, yp zeigt. Der Beweis 

 scheitert daran, dass es dreigliedrige Gruppen giebt, die nicht inte- 

 grabel sind, z. B. die Gruppe xq, xp — yq, yp. 



Aber man kann den Satz 3 in anderer Weise verallgemeinern 

 nämlich so: 



^ uulerjr.^" Satz 4 \ Jede integrdbele q-gliedrige Untergruppe einer r-gliedrigen 

 olthaiten G^uppe XJ .. Xrf (q < r) gehört mindestens einer {q-]- \)-gliedrigen 

 unSg" Untergruppe der Gruppe XJ. . Xrf an. 



In der That, sei g^ jene g-gliedrige Untergruppe. Sie wird im 

 Räume Er-i der adjungierten Gruppe EJ. . J5;^/" durch eine (g— l)fach 

 ausgedehnte ebene Mannigfaltigkeit M^^i dargestellt. Durch sie geht 

 eine gewisse Anzahl g^fach ausgedehnter ebener Mannigfaltigkeiten Jf^. 

 Sei g^ insbesondere die Untergruppe XJ. . XJ, wie wir ohne Beein- 

 trächtigung der Allgemeingültigkeit des Beweises annehmen dürfen. 

 Alsdann erzeugen EJ. . EJ ebenso wie XJ. . XJ für sich eine 

 Gruppe, da mit 



auch 



iXiXi) =^^ Ca.,XJ 

 1 



r 



{E,E,)=^sca.EJ 



ist (nach Theorem 33, § 2 des 18. Kap.). Nach Voraussetzung ist 

 die Gruppe XJ. . Xqf von der besonderen Zusammensetzung: 



i + Jc- 



{Xi Xi + a) = ^ Ci^ i + ^^ ,XJ 

 1 



der integrabelen Gruppen. Also auch die Gruppe EJ..EJ, die über- 

 dies linear und homogen ist. Die letztere Gruppe. lässt unsere ebene 

 -Mj-i in Ruhe. Also bleibt bei ihr nach Satz 19, § 5 des vorigen 

 Kapitels auch mindestens eine e^beue Mq in Ruhe, welche unsere Jf^-i 

 enthält. Es habe etwa Xg+J seinen Bildpunkt in dieser Mq. Als- 

 dann erkennen wir also nach Satz 3, § 3 des 18. Kap., dass (X,X,+i), 

 (X^X,;+i) .. .(XgXgj^^i) sich linear aus Xj/". . X^+i/' ableiten lassen. 



