Bestimmung aller Typen von dreigliedrigen Zusammensetzungen. 565 



Also bilden auch Xj/". . X^+i/" eine Gruppe. Damit ist der Satz be- 

 wiesen. 



Zwar lässt die Gruppe E^f. . Eqf auch eine ebene -Mj+i in Ruhe, 

 welche die soeben besprochene M.^ enthält. Daraus können wir aber 

 nicht schliessen, dass diese M^+i eine (g -f 2)-gliedrige Unter- 

 gruppe der Gruppe X^f. . Xrf darstellt. Denn: enthält sie etwa den 

 Bildpunkt von X^+^f, so folgt nach dem citierten Satze zwar, dass 

 {XiX,i+2) . ' ' {X,jXg+2) linear aus X^/". . X5+ 2/" ableitbar sind, nicht 

 aber, dass dies auch für (X,^4-iX,^-j-2) gilt*). 



§ 2. Bestimmung aller Typen von dreigliedrigen Zusammen- 

 setzungen. 



Wir haben schon oben, in Satz 2, alle Typen von zweigliedrigen '■^^oigUcdT. 



' ' . . Zusaninien- 



Zusammeiisetsimgeti angegeben : Aus einer zweigliedrigen Gruppe kann Setzungen. 

 man stets zwei von einander unabhängige infinitesimale Transforma- 

 tionen X^f, X^f so auswählen, dass entweder 



(X1X2) = XJ oder aber (X^X.) eee 



ist. Der eine Fall schliesst den andern aus. Ein Beispiel einer 



Gruppe der ersteren Art ist p xp, einer Gruppe der letzteren p q. 



Bei einer Gruppe der zweiten Art sind alle Transformationen in ihrer 



Reihenfolge mit einander vertauschbar, nach Satz 6, § 2 des 17. Kap. 



Auch ist hier jede eingliedrige Untergruppe invariant. Bei einer 



Gruppe der ersteren Art ist nur ihre derivierte Gruppe XJ' invariant. 



Die infinitesimalen Transformationen der 



beiden Gruppen lassen sich bei Zuhülfe- 



nahme der adjungierten Gruppe als Punkte 



einer Geraden darstellen. Wir gelangen 



dadurch zur schematischen Figur 50. 



Die invarianten Untergruppen sind darin 



besonders markiert. ^^^' ^^' 



Wenden wir uns nun zu den dreigliedrigen Zusammensetzungen. 



Liegt eine Gruppe X,/". . X;./" vor, so gilt die Bemerkung allge- Zuordnung 



i/-^i'Ti -D -1 T' eines Pktes. 



mein, dass sie jeder Geraden im Räume iv— 1 ihrer adjungierten zur Geraden 



im Kaum d. 

 adj. Gruppe 



*) Diese Entwickelungen veröffentlichte Lie zum ersten Male und zwar in 

 analytischer Form im 3. Bande des Archiv for Math., Christiania 1878. Welche 

 Rolle der Satz 4 in seinen ältesten Untersuchungen gespielt hat, deutete er bei 

 dieser Gelegenheit mit folgenden Worten an: „Dieses letzte Theorem, das in 

 dieser Abhandlung nicht benutzt wird, wurde bei meiner ursprünglichen Bestim- 

 mung von allen Gruppen einer Ebene fast bei jedem Schritte angewandt." 



