566 Kapitel 20, § 2. 



Gruppe E^f. . Erf einen Punkt — im Ausnahmefall gar nichts — zu- 

 ordnet. Denn die infinitesimalen Transformationen ZaiXif, Uß^X^f 

 werden im Räume (e^ : • • • : er) durch zwei Punkte mit den homogenen 

 Coordinaten «j . . «^ bez. ß^ . . ßr dargestellt. Ist nun 





so ordnet die Gruppe der Geraden jener beiden Punkte («^ : • • : «^) und 

 ißi'----ßr) den Punkt (^^i:-:/,) zu, denn der Klammerausdruck aus 

 irgend zwei infinitesimalen Transformationen, deren Bildpunkte auf 

 jener Geraden liegen, unterscheidet sich nur um einen constanteu 

 Factor von Zy^X^f. 

 ^^setzTg™' Handelt es sich nun um eine dreigliedrige Gruppe XJ, XJ, X.J, 

 SpS' so werden wir ihre infinitesimalen Transformationen ZaiXif als Punkte 

 einer Ebene mit den homogenen Coordinaten a^, a^j «3 darstellen. 

 Jeder Geraden dieser Ebene wird dann ein Punkt zugeordnet, der 

 eventuell verschwinden kann, Ist 



^a,X,f, ^^ß,xA=^sy,XJ, 



so ist der Geraden, welche die Punkte (a^, a^, a.^) und (ß^, ß.,, ß.^) 

 verbindet, der Punkt (y^, j/^, y^) zugeordnet. Es sind ofi"enbar 



«2/33 — «3^2; «3/3i — «1/^3, cc,ß2 — cc^ßi 

 hotnogene Liniencoordinaten der in Rede stehenden Geraden. Die obige 

 Relation lässt sich nun, da (X/ Z^) + (X^. X,) = ist, auch so 

 schreiben : 



(«2/53 - «3^2) (^2X3) + {a,ß,-a,ß,){X,X,)-\- 



3 

 + («i/52 - «2Ä) Ä X^) =^y,XJ. 



Nach dem Hauptsatze wird aber: 



3 

 (XÄ) EEE^Crt^X,/- (^•, /^ = 1, 2, 3) 

 1 



sein, sodass der Vergleich der Coefficienten auf beiden Seiten ergiebt: 



Vx == («2^3 — «3^2)^231 + («3/3: — «1^3)^311 + («l/32 — ^^2^)^121, 



(13) . y., = («2^3 — «3^2)^232 + («3Ä - «1^3)^312 + («11^2 — «2/3i)Ci22, 



73 = («2^3 — «3/52)^233 + («3/5i — «1/33)^313 + («l|32 — «2Ä)Ci23- 



Man sieht: Die homogenen Coordinaten y^ y^, y^ des Punktes, der 

 der Geraden mit den homogenen Coordinaten {oc^ß'^—cc-M, {oc-ißi—cciß^), 



