Bestimmung aller Typen von dreigliedrigen Zusammensetzungen. 567 



(a,/3^ — «2/^1) zugeordnet ist, drücken sieh linear und homogen durch 

 letztere Liniencoordinaten aus. Daher folgt: 



Satz 5: Jede dreigliedrige Gruppe X^f, X^f, X^f bestimmt in der 

 Bildebene ihrer adjungierten Gruppe eine Correlation der Geraden und 

 PunJde. 



Diese Correlation (13) kann nun eine wirkliche oder ausgeartete 

 sein, je nach dem Verhalten ihrer Determinante 



'"231 ^311 ^121 

 ^2i2 ^312 ^^122 

 ^233 ^313 ^J 23 



Ist diese Determinante von Null verschieden, so ist die Correlation 

 nicht ausgeartet. 



Der Fall, dass diese Determinante nicht Null ist, lässt sich auch 

 so charakterisieren: Zwischen den drei Klammerausdrückeu 



(14) (X,X,) EE c^nXJ+ Ci,,X,f+ CasXJ 



(i,]c = l, 2, 3) 



besteht keine lineare Relation mit constanten Coefficienten, d. h. die 

 erste derivierte Gruppe ist ebenfalls dreigliedrig. 



Wir wollen uns zunächst mit diesem Fall, dass die erste derivicrte'i^rs^<^ '^^t^^'^- 

 Gruppe dreigliedrig ist, beschäftigen. dreigliedrig. 



Tragen wir in die Identität 



i{X,X,)X,) + {(X,X,)X,) + i(X,X,)X,) = 

 die Werte (14) in den inneren Klammern ein, so kommt: 



(Cl22 — C313)(^2X3) + fe3 ~ Ci2l)(^3^l) + (^311 " C232)(-^1^2) ^ 0. 



Da nun (X^X^), (XgX^), (X^Xg) nach Voraussetzung keine lineare 

 Relation mit constanten Coefficienten erfüllen, so folgt: 



^122 ^^ ^313 7 '^233 ^^^ ^121? ^311 ^"^ ^232- 



Die obige Determinante ist somit symmetrisch. Daher ist die Corre- 

 lation (13) nach bekannten Sätzen die polare Zuordnung von Punkten 

 zu Geraden vermöge eines gewissen nicht ausgearteten Kegelschnittes 

 in der Ebene. 



Wir können nun aus der Schar aller ^i'Const. X/" drei beliebige 

 von einander unabhängige als XJ, X^f, X.^f herausgreifen, d. h. drei 

 solche, deren Bildpunkte ein beliebiges wirkliches Dreieck darstellen. 

 Wir wählen X^/" und X-^f so,, dass ihre Bildpunkte auf dem Kegel- 

 schnitt liegen, während X^f zum Bildpunkt den Schnittpunkt der 



