568 Kapitel 20, § 2. 



Tangeuten dieser beiden Punkte haben möge. Jeder der Tangenten 

 ist der Berührpunkt, der Berührsehne ist der Bildpunkt von X^f polar 

 zugeordnet. Wir haben also: 



{X,X,) = aXJ, {X,X,) = ßX,f, {X,X,) = yXJ. 



Die Constanten cc, ß, y sind sämtlich von Null verschieden, da sonst 

 die erste derivierte Gruppe nicht dreigliedrig wäre. Durch Einsetzung 

 dieser Klammerausdrücke in die Jacobi'sche Identität zwischen X^/j 

 X^fj X.J ergiebt sich a = y. Indem man als neue XJ, X^f, X^f 

 nun die drei infinitesimalen Transformationen, multipliciert mit passen- 

 den nicht verschwindenden Constanten benutzt, kann man ohne Mühe 

 erreichen, dass die obigen Relationen die Form annehmen: 



(I) (X,X,) = XJ, {X,X,) = 2X,f, {X,X,) = XJ. 



Ein Beispiel zu dieser Zusammensetzung ist die bekannte Gruppe 

 p xp x^p. 



Hätten wir als Bildpunkte von X^f, X.^f, X^f die Ecken eines 

 Polardreiecks des Kegelschnittes gewählt, so hätten wir ebenso leicht 

 die cyklische Zusammensetzung herstellen können: 



(0 {x,x;) = xj, (x,x,) = xj, {x,x,) = x,f, 



die also der vorhergehenden äquivalent ist. 



Ein Beispiel zur letzteren Form der Gruppe ist dies: 



— ^^ -{- yp q -{- xyp -\- y^g. -^ p — oc^p — xyci. 



In der weiter unten gegebenen Figur 51 ist die hier gefundene 

 Zusammensetzung schematisch unter I dargestellt. Dass die Gruppe 

 ihre eigene erste derivierte Gruppe ist, soll in der Figur durch die 

 Schraffur angedeutet werden. Die Gruppe besitzt keine invariante 

 Untergruppe. 



Erste doriv. Nuumehr kommen wir zu der Annahme, dass die erste derivierte 

 zweigiiedr. Gmppe Zweigliedrig sei. 



Es mögen in der betrachteten Gruppe X^f, X^f, X^f etwa 

 Xj/", X^f diese zweigliedrige erste derivierte Gruppe darstellen. Als- 

 dann sind alle drei Klammerausdrücke linear aus X^f und X.^f allein 

 ableitbar; insbesondere darf nach Satz 2 des vorigen Paragraphen 

 entweder 



(X,X,) = XJ 

 oder aber 



(Z,X,)eeO 



angenommen werden. Erstere Annahme ist jedoch aus einem anderen 

 Grunde ausgeschlossen. Denn wenn man die Werte 



