Bestimmung aller Typen von dreigliedrigen Zusammensetzungen. 569 



{X,X.;) = kXJ, iX,X,) = aXJ-\-ßX,f] 

 iX,X,) = yXJ+dX,f 

 m die Identität zwischen X^f, X^f, X^f einführt, so kommt: 

 — XdXJ-\- lßXJ=0, 



d. h. Xö = Xß = 0. Aber ß und d sind nicht beide Null, weil sonst 

 die erste derivierte Gruppe nur eingliedrig wäre. Also ist A = 0, 

 d. h. (Xj^X.^) ^eO. Führen wir statt X^f die infinitesimale Transfor- 

 mation aXif-\- hX^f («=|= 0) ein, so können wir a und h passend so 

 wählen, dass (X^Xg) ^ Const. X^/" wird, sodass wir haben: 



(X,X,) = 0, (X,X,) = aXJ, iX,X,) = yXJ-i-dXj: 



So lange, wie wir zunächst voraussetzen wollen, a ^ ö ist, kann 

 Xg/" + Const. Xif als neues X^f so eingeführt werden, dass 

 (XjjXg) ^ Const. Xg/" wird. Wir können daher auch 



(X^Xg) = dXJ 



annehmen. Natürlich ist nun sowohl « wie d von Null verschieden. 

 Ohne Mühe lässt sich a = 1 macheu. Ist dann d 4= 1 ? =^0 kommt 

 der Typus: 



(II) (X,X,)eeeO, {X,X,) = XJ, {X,X,)EE,.cX,f 



(c + 0,4=1); 

 ist aber d = 1, so kommt: 



(III) (X,X,) = 0, (X,X,) = XJ, (X,X,) = XJ. 



Beide Fälle sind wesentlich von einander verschieden, denn bei der 

 Annahme (II) besitzt die Gruppe nur zwei eingliedrige invariante 

 Untergruppen, nämlich X^f und X^f, bei der Annahme (III) aber hat 

 sie oo^ solche, nämlich jede von der Form aX^f -\- ßX.^f. Übrigens 

 kann man, wie man leicht nachweist, die Constante c in (II) nicht 

 weiter specialisieren, sie ist wesentlich. Der Typus (II) stellt also in 

 Wahrheit cx)* verschiedene Typen dar. 



Beispiele zu (II) und (III) geben die beiden Gruppen: 



p q xp-\- cyq (c =f= 0, 1), p q x^) + yq. 



In der weiter unten befindlichen Fig. 51 sind die beiden Typen 

 unter II und III schematisch dargestellt. Die Doppelgerade stellt die 

 erste derivierte Gruppe dar. Die schwarzen Punkte geben die invarian- 

 ten eingliedrigen Untergruppen. 



In dem oben ausgeschlossenen Fall, dass a = ö ist, kann man 



ohne Mühe, indem man Xg/' als Xg/" benutzt, zu der Form gelangen, 



