570 Kapitel 20, § 2. 



in der a == ist. Da nun /3 =}= ist, weil sonst der Typus (II) oder 



(III) hervorginge, so kann man ßX^f als neues X^/" verwerten. So 

 kommt man zum Typus 



(IV) {X,X,) = 0, iX,X.^ = XJ, {X,X,) = XJ-i-XJ. 

 Ein Beispiel hierzu ist 



p u (^ + y)p-h yi- 



Die Gruppen von der Zusammensetzung (IV) besitzen nur eine 

 eingliedrige invariante Untergruppe, nämlich X^f. Man vergleiche 

 Fig. 51 unter IV. Dies zeigt auch unmittelbar, dass die Gruppen 

 dieser Art nicht durch andere Auswahl ihre infinitesimalen Transfor- 

 mationen auf die Form der Zusammensetzung (II) oder (III) gebracht 

 werden können. 



^'^Gruppe'^' ^^^ ^^^ drittens die erste derivierte Gruppe eingliedrig, etwa XJ'. 

 ciugiiedrig. j)ajjß haben wir: 



iX,X,) = aXJ- {X,X,) = ßXJ, iX,X,) = yXJ. 



a, ß, y sind nicht sämtlich Null. Die Einsetzung dieser Werte in 

 die Identität zwischen X^f, X,^f, X.J' giebt keine Relation zwischen 

 a, /3, y. Aber es macht keine Mühe, zu erreichen, dass entweder 



(V) (X,X,) = 0, (Z,X,)eeX,/, (X,X3)eeeO 

 oder 



(VI) (X.X,)-0, (X,X,) = 0, {X,X,) = XJ 

 wird. 



Beispiele zu (V) und (VI) geben die Gruppen 

 p q xp, q p xq. 



Natürlich ist bei Gruppen von der Zusammensetzung (V) oder 

 (VI) jede zweigliedrige Untergruppe, die X^/ enthält, invariant, nach 

 Satz 28, § 5 des vorigen Kapitels. Ausser XJ' selbst besitzen diese 

 Gruppen aber keine eingliedrige invariante Untergruppe. Dass beide 

 Typen (V) und (VI) wesentlich verschieden sind, sieht man sofort. 

 In der unten gegebenen Fig. 51 sind sie schematisch dargestellt. 



Endlich viertens verbleibt die Annahme, dass die erste derivierte 

 ^"^Ql^l^^^^-G'^'uppe nullgliedrig ist. Hier haben wir den Typus: 



nullgrdrig.^yjj^ (X,X,) = 0, (X, X3) £EE 0, (X, X3) = 0. 



Ein Beispiel giebt die Gruppe 



q xq x^q. 

 Jede Gerade und jeder Punkt der Ebene der adjuugierten Gruppe 

 stellt eine invariante Untergruppe dar. Siehe Fig. 51 unter VII. 



