Bestimmung aller Ty^ien von clreiglietlrigen Zusammensetzungen. 571 



Also hat sich ergeben: 



Theorem 36: Jede dreigliedrige Gruppe lässt sich durch'^^f^ll^^Hl'^ 

 passende Auswahl dreier von einander unabhängiger XJ,X.,f,X.J"^J^^^^^^' 

 aus der Schar ihrer infinitesimalen Transformationen auf eine 

 solche Form bringen, dass sie eine der folgenden von einander 

 ivesentlich verschiedenen Zusammensetzungen besitzt: 

 L {X,X,)^:XJ, {X,X,) = 2X,f (X,X,) = X,f 



11. (X.X)-O, (X,X3)eeeX,/; iX,X,)EEEcX,f (c + 0,1), 



III. (X,X,)e:eO, {X,X,)^XJ, {X,X,)ee, XJ, 



IV. (X, X,) - 0, (X, X3) ^ X, /; (X, X,) : - X, /• + X,f . 



V. (X,X,)-0, {X,X,)^XJ, iX,X,) = 0, 

 VI. (X,X,)eeO, (X,X3)z_-0, (X,X3) = X,/: 



VII. (X,X,) = 0, 

 Diese sieben Typen 

 von Zusammensetz- 

 ungen iverden durch 

 die nebenstehende 

 scltematische Figur 

 dargestellt. 



Aus diesem Theo- 

 rem folgt unmittelbar 

 der wichtige 



Satz 6: Jede nicht - 

 integrabele dreigliedrige 

 Gruppe lässt sich auf 

 eine solche Form X^f 

 X^f X3/" bringen, dass 



{x,x,) = xj: 



{X,X,)^2X,f 

 (^2^3) ^ x^f 



wird. 



Auch können wir 

 unter Berufung auf eine 

 zum Schluss des § 3 des 

 18. Kap. eingeführte, in 

 § 5 des vor. Paragraphen 

 abermals gebrauchte 

 Bezeichnung sagen: 



(X,X3) = 0, (X,X3) = 0. 



l'ig. 61. 



