572 ' Kapitel 20, §§ 2, 3. 



Satz 7: Jede einfache dreigliedrige Gruppe lässt sich auf eine 

 solche Form XJ, X^f X^f Iringen, dass 



iX,X,) = XJ, iX,X,) = 2X,f {X,X,) = X,f 

 wird. 



Endlich sahen wir oben, dass wir eine Gruppe von dieser Art 

 auch auf eine solche Form bringen können, dass 



{X,X,) = XJ, (Z3XO = X,f, (Z, X,) = X,f 

 wird. 



Wir haben schon öfters auf die Wichtigkeit der dreigliedrigen 

 Gruppen von dieser Zusammensetzung hingewiesen. (Vgl. z. B. § 3 

 des 18. Kap.) Es sind dies die nicht-integrabelen, ebenso die ein- 

 fachen Gruppen von geringster Parameterzahl. Auch ist jetzt ein Satz 

 bewiesen, den wir in § 3 des 18. Kap. auf Seite 476 vorwegnahmen, 

 um ein interessantes Ergebnis möglichst allgemein aussprechen zu 

 können *). 



§ 3, Bestimmung der Zusammensetzung aller niclit-integrabelen 

 viergliedrigen Gruppen. 



Um vorerst einige allgemeine Ergebnisse über die viergliedrigen 

 Gruppen abzuleiten, knüpfen wir an Satz 31, § 5 des vorigen Para- 

 graphen, an. Aus jenem Satze folgt sofort: 



Satz 8: Enthält eine r-gliedrige Gruppe Gr eine (r — l)-glicdrige 

 einfache Gruppe Gr-i, so ist letztere eine invariante Untergruppe 

 der Gr. 



Denn sonst enthielte Gr-i nach jenem Satze eine invariante Unter- 

 » gi'iippe, wäre also nicht einfach. Diesen Satz 8 werden wir sogleich 

 benutzen. 



"facSS' ^^^ wollen nämlich von jetzt an zuerst viergliedrige Gruppen G^, 



die eine einfache dreigliedrige Untergruppe besitzen, ins Auge fassen. 

 Es folgt aus Satz 8 sofort, dass diese einfache Gruppe eine invariante 

 Untergruppe der G^ sein muss. Nach Satz 7 des vorigen Paragraphen 

 lässt sich aber jede einfache dreigliedrige Gruppe auf eine solche 

 Form XJ, X,f, XJ bringen, dass: 



*) Wir wollen nicht unterlassen, darauf hinzuweisen, dass die einfache drei- 

 gliedrige Gruppe in der Theorie der Differentialgleichungen wesentlich dieselbe 

 Rolle spielt wie in der Theorie der algebraischen Gleichungen die Galois'sche 

 Gruppe einer allgemeinen Gleichung fünften Grades. Die lineare Differential- 

 gleichung zweiter Ordnung ist das Analogon zur algebraischen Gleichung fünften 

 Grades; die Quadraturen spielen dieselbe Rolle, wie die Auflösungen binomischer 

 Gleichungen, u. s. w. 



