Bestimmung der Zusammensetzung aller nicht -integr. viergl. Gruppen. 573 



(15) {X,X,) = XJ, (X,X,)^2XJ, (X,X,) = X,f 



oder, wenn man will: 



(IG) (X,X,) = X,f, {X,X,) = XJ, (X,X,) = X,f ■ 



wird. Ist XJ eine vierte von X^f, X^f, Xj unabhängige infinitesi- 

 male Transformation der G^, so ist, da XJ, X,f, XJ eine invariante 

 Untergruppe vorstellt: 



{i=h 2, 3). ' 



Die adjungierte Gruppe EJ, EJ EJ EJ der G.^ lässt in ihrem 

 Räume R^ mit den homogenen Punktcoordinaten e^, e^, e.^, e^ die 

 Ebene e^ == 0, die Ebene der invarianten Untergruppe, in Ruhe. Ferner 

 erzeugen EJ, EJ, EJ eine solche dreigliedrige invariante Unter- 

 gruppe der adjungierten Gruppe, dass sie die Punkte der Ebene e^=0 

 genau so unter einander transformieren, wie es die adjungierte Gruppe 

 der dreigliedrigen Gruppe XJ, XJ, XJmii den Punkten der Ebene 

 thut, deren homogene Coordinaten e^, e.^, e^ sind. Bei der Gruppe 

 ■^i/i ■^2/'? ^zf bleibt somit in der Ebene 64 = ein und auch nur ein 

 Kegelschnitt invariant. Siehe § 3 des 18. Kap., Fig. 45. Es muss 

 daher auch nach Satz 18, § 4 des 19. Kap., die ganze viergliedrige 

 adjungierte Gruppe, also auch EJ diesen Kegelschnitt invariant lassen. 

 Die adjungierte Gruppe i^j/". . i^^/' transformiert aber die Punkte 

 der Ebene e^ = projectiv unter einander. Es ist nun die allgemeine 

 projective Gruppe eines Kegelschnittes nur dreigliedrig. (Vgl. § 3 des 

 11. Kap.) Daraus folgt, dass EJ, EJ, EJ, EJ die Ebene 6^ = 

 nur dreigliedrig in sich transformieren, d. h. dass es Constanten 

 ^1; '^2' ^3> ^4 giebt derart, dass 



K^J-^ KEJ-{- l,EJ-\- X,EJ 



jeden Punkt der Ebene e^ = in Ruhe lässt. Sicher ist dabei A.j4=0. 

 Es ist also auch HhXkf von XJ, XJ, XJ unabhängig. Wir dürfen 

 mithin EkkXJ als neues XJ benutzen. Thun wir dies, so finden 

 wir rückwärts: EJ lässt alle Punkte der Ebene e^ = einzeln in 

 Ruhe. Nach Satz 3, § 3 des 18. Kap. folgt hieraus, dass wir nun an- 

 zunehmen haben: 



{X,X,) = a,Xj\ (X,X,) = a,XJ, (X,X,) = a,XJ 



und allgemein: 



{^xXJ-}- e,XJ+ e,XJ, XJ) = Const. {e,XJ ■\- e,XJ+ e,XJ), 



denn der allgemeine Punkt von c^ = stellt die infinitesimale Trans- 

 formation e^XJ-\' e^XJ-\- c^XJ dar. Dies ist aber nur dann mög- 



