574 Kapitel 20, § 3. 



lieh, wenn die Constanten a^, a^, «3 einander gleich sind. Wir be- 

 zeichnen ihren Wert mit a. Nehmen wir an, X^f, X.2f, X^f erfüllen 

 die cyklischen Relationen (16), so giebt nun die Identität 



((X,X,)XJ + {iX,X,)X,) + {(X,X,)X,) = 



sofort « = 0. Hiermit haben wir gefunden: 



Satz 9 : Enthält eine viergliedrige Gruppe X^ f, X^ f, X^ f, X^ f eine 

 dreigliedrige einfache Gruppe X^f, X^f, X^f, so kann man X^f stets 

 so wählen, dass jedes {XiX^) ^ wird*). 



Legen wir statt (16) die damit gleichberechtigte Zusammen- 

 setzung (15) zu Grunde, so finden wir also als einen ersten Typus 

 von Zusammensetzungen viergliedriger Gruppen diesen: 



({X,X,) = XJ, {X,X,),EE2X,f, {X,X,) = XJ, 

 ^^ • \iX,X,) = 0, (XÄ)eeeO, {X,X,) = 0. 



Beispielsweise hat die Gruppe 



p xp x^p g 

 diese Zusammensetzung. 



Ein schematisches Bild von dieser Zusammensetzung im Räume 

 der adjungierten Gruppe giebt die weiter unten befindliche Figuren- 

 tafel 52 unter I. Die erste derivierte Gruppe ist X^f, X^f, X^f. 

 Ihre Ebene ist in der Figur besonders hervorgehoben. Die G^ besitzt 

 ausser dieser invarianten G^ nur eine invariante Untergruppe, nämlich 

 X^f. Auch ihr Bildpunkt ist besonders markiert. 



eii!fich'"r ^^^ haben nun die viergliedrigen Gruppen 211 betrachten, die Iceine 



einfache dreigliedrige Gruppe enthalten. 



Wir werden nachweisen, dass jede derartige Gruppe integrdbel ist. 

 Nach Satz 1 und 3 des § 1 enthält jede G^ dreigliedrige Unter- 

 gruppen, und jede ihrer infinitesimalen Transformationen gehört min- 

 destens einer solchen an. Nun sollen die in G^^ enthaltenen G^ nach 

 Voraussetzung nicht einfach sein. Nach Satz 6 und 7 des § 2 sind 

 sie daher integrabel. 

 ^4 mit iiiv. Enthält zunächst die Ga eine invariante integrabele Go, so enthält 



integr. G^. 4 c> o/ 



sie also eine Reihenfolge von Untergruppen G^, G^, G^ derart, dass 

 G^ in G^, G^ in G^ und G^ in G^ invariant ist. Nach § 5 des 19. Kap. 

 ist also G^ selbst integrabel, was wir eben beweisen wollten. 

 G, ohne inv. j]g bleibt somit nur noch die Annahme zu erledigen, dass die G^ 

 heine invariante integrabele G^ enthält. Wie wir wissen, enthält sie 

 sicher nur integrabele G^. Jede solche wird durch eine Ebene im Räume 



*) V-on Lie in den Math. Ann. B>1. XI, 1876—77 ausgesprochen. 



