Bestimmung der Zusammensetzung aller nicht -integr. viergl. Gruppen. 575 



iig der adjimgierten Gruppe EJ. . EJ dargestellt. Diese Ebene geht 

 bei allen infinitesimalen Transformationen der adjungierten Gruppe, 

 deren Bildpunkte in der Ebene liegen, in sic^li über, nimmt also bei 

 der ganzen adjungierten Gruppe höchstens oo^ Lagen an. Anderer- 

 seits nimmt sie sicher oo^ Lagen an, denn sonst bliebe sie invariant 

 und stellte eine gegen die Voraussetzung in der G^ enthaltene in- 

 variante integrabele G^ dar. Die oo^ Ebenen können nun entweder 

 eine abwickelbare Fläche umhüllen oder im besonderen sämtlich durch 

 eine Gerade gehen. 



Im allgemeinen Fall, dass die oo^ Ebenen eine abwickelbare Fläche A-^wickei- 

 erzeiigen, könnte diese allerdings in einen Kegel ausarten. Sehen wir Flüche. 

 vorerst von dieser Möglichkeit ab, so wird die Fläche eine Rückkehr- 

 curve haben. Die Fläche bleibt bei der adjungierten Gruppe in Ruhe 

 und auch die Rückkehrcurve als Ort der Schnittpunkte von je drei 

 consecutiven Ebenen der Ebenenschar. Die oo^ Punkte der Rückkehr- 

 curve werden also bei E^f . . EJ unter sich vertauscht, natürlich ver- 

 möge einer Gruppe, nach Satz 36, § 5 des 19. Kap. Aber diese 

 Gruppe kann nach Satz 14, § 4 des 12. Kap., höchstens dreigliedrig 

 sein. Also giebt es nicht sämtlich verschwindende Constanteu Aj . . A^ 

 derart, dass 



' K^J + KE,f + X,E,f -\- l,EJ 

 alle Punkte der Curve, daher auch alle jene oo^ Schmiegungsebeneu 

 der Curve in Ruhe lässt. Der Bildpunkt (X^ . . X^ dieser infinitesi- 

 malen Transformation kann aber nicht in allen diesen Ebenen liegen, 

 sobald die Fläche kein Kegel ist. Da ferner jede Ebene bei allen Ef\ 

 deren Bildpunkte in ihr liegen, in Ruhe bleibt, so folgt somit, dass 

 jede der Ebenen bei vier ZQon^i. Ef, deren Bildpunkte ein wirkliches 

 Tetraeder bilden, invariant ist, also bei allen HQon^i.Ef, da sie linear 

 aus diesen vieren ableitbar sind. Mithin ist jede der oo^ Ebenen bei 

 der adjungierten Gruppe invariant. Dies widerspricht nun der That- 

 sache, dass sie bei der adjungierten Gruppe in einander übergehen. 



Gehen die oo^ Ebenen sämtlich durch eine Gerade, so folgern wirspeciaifau: 

 zunächst, dass diese Gerade bei der adjungierten Gruppe in Ruhe büschei. 

 bleibt, also eine zweigliedrige invariante Untergruppe der G^ darstellt. 

 Jede infinitesimale Transformation der adjungierten Gruppe, die auf 

 dieser Geraden ihren Bildpunkt hat, lässt jede der oo^ Ebenen einzeln 

 in Ruhe. Daher werden diese oo^ Ebenen bei der adjungierten Gruppe 

 höchstens zweigliedrig — und zwar projectiv — unter einander trans- 

 formiert. Nach Theorem 15, § 2 des 5. Kap., bleibt folglich wenig- 

 stens eine dieser Ebenen in Ruhe. Sie stellt also eine invariante 

 integrabele (x^ dar. Dies widerspricht der Voraussetzung. 



