576 Kapitel 20, § 3. 



Speciaifaii: Wir haben hiernach nur noch den Fall zu betrachten, dass die 



oo^ Ebenen einen Kegel umhüllen. Der Kegel und seine Spitze bleiben 

 hier natürlich bei der adjungierten Gruppe in Ruhe. Die Spitze stellt 

 eine eingliedrige invariante Untergruppe der G^ dar. Ehe wir diese 

 Annahme weiter verfolgen, wollen wir einen sich schon jetzt ergeben- 

 den wichtigen Satz formulieren. Da wir stets eine invariante Unter- 

 gruppe erhalten haben, so können wir sagen: 

 Keine Theorem 37: Es gieht keine einfache viergliedrige Gruppe. 



einfache G^. '^ t • tt- i 



Betrachten wir jetzt den Fall von oo^ Ebenen, die einen Kegel 

 umhüllen. Die invariante Kegelspitze können wir als Bildpunkt von 

 Xj^f benutzen. Alsdann ist nach § .3 des 18. Kap. zu setzen: 



{X,X,) = a,XJ, {X,X,) = a,XJ, {X,X,) = a,XJ. 



Ferner sei: 



(X,X,) = c„,XJ+ C/,2X,/'+ CazX,f+ ß^.XJ, 

 (i,lc = 1,2,^). 



Setzt man diese Werte in die Identität 



{{X,X.^X,) + {iX,X,)X,) + iiX,X,)X,) = 



ein und setzt man sodann die Coefficienten von X^f, X^f, X^f einzeln 

 gleich Null, so erhält man genau dieselben Relationen zwischen den 

 Constanten Cn-,, als ob man die Identität zwischen X^f, X^f, X^f 

 unter Annahme der folgenden drei verUirzten Klammerausdrücke ge- 

 bildet hätte: 



(X,X,) = CinXJ+ CmX,f+ Ca-^XJ 

 (*, 7c = l, 2, 3). 



Es ist demnach sicher, dass die Constanten c«« die Relationen erfüllen, 

 die nach dem dritten Fundamentalsatze zwischen den charakteristischen 

 Constanten dks bestehen müssen, um die Existenz einer dreigliedrigen 

 Gruppe G^ oder X^f, X^f, X^f von dieser Zusammensetzung zu ver- 

 bürgen. Wäre nun diese Gruppe G^ integrabel, so könnten wir, indem 

 wir passende lineare Combinationen der Xif als neue Xif einführten, 

 erreichen, dass 



(X,X,) = XXJ, 



{X,X,) = iiXJ+vXJ, 



iX,X,) = qXJ-{- aXJ-^tXJ 



würde, eben nach dem Begriff der integrabelen Gruppen. Wenn wir 

 die entsprechenden linearen Combinationen mit X, /", X.j,f, Xnf vor- 

 nehmen würden, so könnten wir also erreichen, dass 



