Bestimmung der Zusammensetzung aller nicht - integr. viergl. Gruppen. 577 



{X,X,) = fiXJ-j- vXJ + ß,,XJ, 



{X,X,) = QXJ+6XJ+tXJ+ß,,XJ 



würde. Da nun überdies 



{X,X,) = a,XJ, {X,X,) = a,XJ, (X,X,) = a,XJ 



wäre, so würde X^f in X^f, X^f, diese Untergruppe in XJ, X^f, X^f, 

 letztere in der ganzen G^^ invariant sein. Die ganze Gruppe G^ wäre 

 folglich integrabel, was wir gerade zu beweisen wünschten. 



Es ist daher nur noch die Möglichkeit zu untersuchen, dass 

 X^f, X.^f, Xg/" eine nicht- integrabele G^ bestimmen. Nach Satz 6 des 



§ 2 dürfen wir dann für G^ die cyklische Zusammensetzung voraus- 

 setzen : 



{X,X,) = XJ, {X,X,) = XJ, {X,X,) = XJ, 



sodass entsprechend 



(X,X,) = XJ-\-ß,,XJ, 



{X,X,) = X,f+ß,,XJ, 



{X,X,) = XJ+ß,,XJ 

 wird, während 



{X,X,) = a,XJ, {X,X,) = a,XJ\ {X,X,) = a,XJ 



ist. Die Identität zwischen X^f, X^f, X^f giebt nun sofort «1 = 0. 

 Analog ist «^ = «3 = 0. Führen wir XJ-^ß,^XJ, X,f -{- ß,,XJ, 

 X-^f -\- ßi2^i:f ^Is neues X^f, X^f, X^f ein, so sehen wir, dass 

 X^f, X^f, Xg/'eine nicht-integrabele einfache G^ erzeugen. Dies wider- 

 spricht der Voraussetzung, dass die G^ keine einfache G^ enthalten soll. 



Unsere Überlegungen liefern uns folglich den '^ 



Satz 10: Eine viergliedrigc Gruppe, die Jccinc einfache dreigliedrige P*°^^^^ 

 Gruppe enthält, ist stets integrahel. "' integr. 



Ausserdem : 



Satz 11: Jede nicht-integrabele viergliedrigc Gruppe lässt sieh durch 

 passende Auswahl ihret- infinitesimalen Transformationen X^f X.^f XJ\ 

 X^f auf eine solche Form bringen, dass 



{X,X,) = XJ, (X,X,)^2XJ, {X,X,)~XJ, 



{X,X,) = (X,X,) = (X3X,) = 

 ivird*). 



*) Von Lie ausgesprochen in den Math. Ann. Bd. XI. 



Lie, Continuierliche Gruppen. 37 



