578 Kapitel 20, § 4. 



§ 4. Zusammensetzung der integrabelen viergliedrigen Gruppen 

 ohne dreigliedrige Involutionsgruppe. 



Es ist zweckmässig, bei der Bestimmung der Zusammensetzung 

 der integrabelen viergliedrigen Gruppen G^ diejenigen gesondert zu be- 

 trachten, die eine dreigliedrige Gruppe G^ enthalten, deren infinitesi- 

 male Transformationen sämtlich mit einander vertauschbar sind. 



Wir wollen eine Gruppe, deren sämtliche infinitesimale Transfor- 

 luvoiutions-mationen mit einander vertauschbar sind, kurz eine Involutionsarume 



grujipe. ' ^ J^J^ 



nennen. Nach Satz 6, § 2 des 17. Kap., soll also eine Gruppe 

 X^f. . Xrf eine Involutionsgruppe dann und nur dann heissan, tvenn 

 alle Klammer ausdrüclie (XiXk) identisch verschwinden. 



Es sollen, wie gesagt, in unserem gegenwärtigen Problem die 

 integrabelen G^ mit Involutions-G^3 gesondert betrachtet werden, und 

 zwar im nächsten Paragraphen. Hier betrachten wir alle übrigen 

 integrabelen viergliedrigen Gruppen G^ oder X^f, X^f, X^f, X^f. 



■^'^Gruppo''' ^^^ mnächst die erste derivierte Gruppe der G^ dreigliedrig: 

 dreigiiedrig.Xj/; XJ, XJ. Sie ist auch integrabel, nach Satz 34, § 5 des 19. Kap. 

 Wir müssen also die verschiedenen integrabelen G^ ins Auge fassen. 

 Nach Theorem 36 des § 2 haben wir deren sechs zu unterscheiden, 

 die damals mit den Nummern 11 . . . VII bezeichnet wurden. Wir 

 werden sehen, dass die Fälle II, III, IV, V in unserem jetzigen 

 Problem nicht vorkommen können. Denn in allen -diesen können wir 

 annehmen : 



(X,X,) = 0, (X,X,) = XJ, {X,X,) = aXJ+ßXJ. 



Es besitzen II, III, IV nur eine zweigliedrige invariante Untergruppe 

 Xj/", X^f, der Typus V allerdings oü\ Aber im letzteren Falle be- 

 steht nur eine der zweigliedrigen invarianten Untergruppen aus ver- 

 tauschbaren Transformationen, nämlich auch X^f, X^f. Im Räume 

 i?3 der adjungierten Gruppe E^f. . E^f der G^ wird die erste derivierte 

 Gg durch eine invariante Ebene dargestellt, jede zweigliedrige in- 

 variante Untergruppe der (rg durch eine Gerade in dieser Ebene. Die 

 Untergruppe E-^^f, E^f, E^f, die in der adjungierten der G^ invariant 

 ist, lässt diese Gerade invariant. Die Gerade, die X-^f, X^f darstellt, 

 ist in allen vier betrachteten Fällen eine isolierte invariante Mannig- 

 faltigkeit bei EJ, E^f, E^f. Daher bleibt sie nach Satz 18, § 4 des 

 19. Kap., auch bei der adjungierten Gruppe der G^ in Ruhe. Also ist 

 zu setzen: 



