Zusammensetzung der integr. viergl. Gr. ohne dreigl. Involutionsgruppe. 579 



{X,X,) = yXJ-^8X,f, iX,X,) = XXJ+^XJ, 



{X,X,) = QXJ-\-aXJ+xX,f. 

 Bildet man nun für *'= 1, 2 



{{X,X,)X,) + i{X,X,)Xd + {(X,X,)X,) = 0, 



so erhält man, wenn man die Coefficienten vergleicht, leicht t = 0, 

 d. h. die erste derivierte Gruppe ist entgegen der Voraussetzung nur 

 zweigliedrig: XJ, X^f. 



Wir brauchen hiernach nur die Fälle VI und VII des Theorems 3G 

 des § 2 zu betrachten. Im Fall VII ist die G^ eine Involutionsgruppe. 

 Da wir in diesem Paragraphen von solchen absehen, so bleibt nur die 

 Annahme VI übrig: 



(17) (X,X,) = 0, (X,X3)eeeO, {X,X,) = XJ. 



Die Gruppe X^f, X.J\ X.^f besitzt nur eine eingliedrige invariante 

 Untergruppe, nämlich X^f. Nach Satz 18, § 4 des 19. Kap., folgt 

 daher analog wie oben, dass X^f auch in der G_^ invariant ist. Es 

 ist also: 



iX^X^= aXJ. 



Die Strahlen durch den Bildpunkt von X^f, die in der invarianten 

 Ebene e^ = des B^ der adjungierten Gruppe EJ\ . E^f der G^ 

 liegen, werden durch diese adjungierte Gruppe unter sich vertauscht. 

 Diese oo^ Strahlen werden aber höchstens eingliedrig, und zwar projectiv, 

 transformiert, denn E^f, E.^f, E^f lassen jeden dieser Strahlen in Ruhe, 

 da jeder eine invariante Untergruppe der G^ darstellt und E^f, E.^f, E^f 

 in der Ebene e^ = die adjungierte Gruppe der G^ bilden. Nach 

 Theorem 15, § 2 des 5. Kap., bleibt deshalb mindestens ein Strahl bei 

 Elf. . E^f in Ruhe. Da nun die Zusammensetzung (17) nicht gestört 

 wird, wenn man X^f -{- IX^f als X^f einführt, d. h. da alle Strahlen 

 durch den Bildpunkt von X^f m der Ebene e^ = innerhalb der G^ 

 gleichberechtigte invariante Untergruppen darstellen, so folgt, dass wir 

 annehmen dürfen, dass gerade der Strahl vom Bildpunkt von X^f nach 

 dem von X.^f bei der adjungierten Gruppe in Ruhe bleibt. 



Nun aber könuen nach Theorem 15 entweder alle oder zwei oder 

 gerade nur einer der Strahlen invariant sein. Im ersten und ziveiten Erste und 

 Ealle können wir annehmen, dass auch der Strahl vom Bildpuukt von^'liichkeit!^ 

 Xi^ nach dem von Xg/" in Ruhe bleibt. Dann haben wir also ausser 

 (17) zu setzen: 



{X,X,) = aXJ, {X,X^ = ßX,f-\-QXJ, (X,X,) = yX,f+aXJ. 



Hierin muss /^y =|= sein, weil sonst die erste derivierte Gruppe der 



37* 



