580 Kapitel 20, § 4. 



(t4 nur zweigliedrig wäre. Wir können ohne Mühe erreichen, dass 

 insbesondere ß=l wird. Indem wir X^f -{- GX^f — QX^f als X^f 

 einführen, erreichen wir darauf, dass q = <s = wird. Die Identität 



i{X,X,)X,) + ((X3XJX,) + {{X,X,)X,) = 



liefert nun a = 1 -{- y. Wenn wir a mit c bezeichnen, so ist also 

 y = c — 1. Day=f=0 sein soll, so ist auch c=^l. Daher ergiebt 

 sich der Typus: 



[(X,X,) = 0, {X,X,) = 0, iX,X,) = XJ, 



(II) Ux,x,) = cxj, {x,x,) = x,f, {x,x,) = {c-r)X,f 



Ein Beispiel hierzu ist dieses: 



q p xq xp -{- cyq. 



Man kann übrigens nachweisen, dass sich die Constante c nicht 

 weiter specialisieren lässt. In der Tafel Fig. 52, die weiter unten 

 gegeben wird, ist das Bild der Zusammensetzung (II) schematisch 

 "wiedergegeben. Die erste derivierte Gruppe, ebenso die invarianten 

 zwei- und eingliedrigen Untergruppen sind besonders hervorgehoben. 

 Ist c =j= 2, so sind nur die Untergruppen X^f, X^,/" und X^f, X^f sowie 

 X^f invariant. Für c = 2 aber ist jede Untergruppe X^f, aX^f-\- ßX^f 

 invariant sowie X^/l Für c = 2 ist daher eine besondere Figur ent- 

 Avorfen worden. 

 Dritte \Yir müssen nun drittens den Fall ins Auge fassen, dass von den 



Möglichkeit. _ '-' ' 



Strahlen vom Bildpunkt von X^f aus in der Ebene e^== bei der 

 adjungierten Gruppe der G^ nur der Strahl nach dem Bildpunkt von 

 Xg/" "invariant ist. Hier haben wir ausser (17) anzunehmen: 



{X,X,) = aXJ, (X,X,) = ßX,f+ qXJ, 

 {X,X,) = yXJ+aXJ+TXJ, 



wobei T =)= ist. Es soll eine Untergruppe Xj/) XX^f -\- ^X^f nur 

 dann invariant sein, wenn ft = ist. Es ist aber : 



(AX,/-+ i^XJ, XJ) = (Xß + ^t)X,f-^ ^iyX,f+ {Xq + tiö)XJ. 



Dies soll also die Form Const. {XX^f -}- (iX^f) -f- Const. X^/" nur für 

 {1 = annehmen, es muss also ß == y sein. Ausserdem ist y =^ 0, 

 weil sonst die erste derivierte Gruppe nur zweigliedrig wäre. Wenn nun 



als neues X^f benutzt wird, so ergiebt sich, dass in obiger Zusammen- 

 setzung ß = y =^\, () = 0, 6 = anzunehmen ist. Alsdann liefert die 



