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Zusammensetzung der integr. viergl. Gr. ohne dreigl. Involutiousgruppe. 581 



Identität zwischen Xg/", X^/", X4/' noch a = 2. Wenn endlich noch 

 1/— • Xg/" und — -= Xof als neues Xg/" und X.,f benutzt werden, so 



Vi 



ergiebt sich der Typus: 



(X, X,) = 0, (X, X3) EEE 0, (X,X3) = X, f, 



.iX,X,) = 2XJ, (X,X,) = X,f, iX,X,) = 2X,f+XJ. 



Ein Beispiel hierzu ist die Gruppe: 



— q xq p xp -\- (2y + x^)q. 



Auch diese Zusammensetzung ist in der Fig. 52 unter IIL sche- 

 matisch dargestellt. Die adjungierte Gruppe, die einzige zweigliedrige 

 invariante Untergruppe X^f, Xg/" sowie die einzige eingliedrige in- 

 variante Untergruppe X^f sind wieder besonders markiert. 



Sei nunmehr die erste derivierte Gruppe der G^ oder : X^ f, X.^ f, ^^^^ ^^"'■• 

 Xg/" X^f gerade zweigliedrig: X^f, X^f. Alsdann ist X^f, X2 /', ^^eigiiedr. 

 aX.^f-{- ßX^f stets eine invariante Untergruppe. Alle diese invarian- 

 ten G^ werden im Räume B^ der adjungierten Gruppe der G^ durch 

 ein Büschel von Ebenen dargestellt. Jede dieser Ebenen ist bei der 

 adjungierten Gruppe E^f. . E^^f invariant. Ausser diesen besitzt aber 

 die G^ keine andere dreigliedrige invariante Untergruppe, nach Satz 29, 

 § 5 des 19. Kap. Es sind nun nach Satz 2, § 1, zwei Fälle zu unter- 

 scheiden: Bei der ersten derivierteu Gruppe X^f, X^f ist entweder 



{X,X,)^XJ oder {X,X,)=0 

 zu setzen. Ausserdem haben wir anzunehmen: 



(X,X3) = aXJ+ qXJ, (X,XJ ee yXJ+rX,t\ 



(X,X,)=ßXJ+öX,f, {X,X,) = dXJ + <pXJ, 



{X,X,) = sXJ+tX,f. 



Setzen wir erstens (X^ X^) ^X^f und rechnen wir die Identität zwischen 

 Xif, X.^f, Xg/" aus, so kommt sofort p = ö = 0. Analog ist dann 

 r = 9p = 0, während die Identität zwischen X^^f, X^f, X^f noch ^ = 

 liefert. Wir kommen daher zu der ausgeschlossenen Annahme, dass 

 die erste derivierte Gruppe nur eingliedrig ist. 

 Es ist somit zweitens 



(X,X,) = 



zu setzen. E^f und E^f lassen alsdann die Bildpunkte aller infinite- 

 simalen Transformationen* e^X^f -\- e^X^f in Ruhe. Mithin werden 

 diese Punkte, die ja auf einer invarianten Geraden liegen, bei der ad- 

 jungierten Gruppe nur von E^f und E^f, d. h. höchstens zweigliedrig 



