582 Kapitel 20, § 4. 



projectiv transformiert. Nach Theorem 15, § 2 des 5. Kap., bleibt 

 also sicher mindestens ein Punkt dieser Punktreihe, sagen wir der 

 Bildpunkt von X^/^ bei der adjungierten Gruppe fest. Es ist dann 

 Q = r = zu setzen. Nun lässt sich offenbar passend aXj/"-{- hX^^f 

 als neues X.^f einführen, sodass auch a = wird. Die einzige Iden- 

 tität, die jetzt noch Ergebnisse liefert, ist die zwischen Xg/) Xg/'/X^/" 

 Sie ergiebt; 



(18) ßy^ad — (pß = 0. 



Sei mnächst (? == 0. Dann ist ß^O, weil sonst X^f, X^f, X.^f 

 eine luvolutions-G^g bilden, was ausgeschlossen wurde. Aus der Rela- 

 tion folgt also dann y = cp^ und es kommt, wenn man ßX^f als neues 

 Xif benutzt: 



(X,X,)eeeO, 



(X,X3)eeeO, (X,X,) = yXJ, 

 {X,X,) = XJ, (X,X,) ~dXJ-\- yX,f, 

 {X,X,) = sXJ+^X,f. 



Wäre j; = 0, so enthielte unsere viergliedrige Gruppe eine Involu-. 

 tions-G^: X^f, X^f, X^f — öX.^f. Also kann y ohne Beschränkung 

 gleich 1 gesetzt werden. Wird sodann X^f — dX^f als neues X4/' 

 eingeführt, so verschwindet das neue d. Wenn man schliesslich 

 ^af — ^'X^f als neues X^f und X^f -{- sX.J als neues X^f benutzt, 

 so wird (X3X4) ^ 0. Also ergiebt sich der Typus: 



■(X,X,) = 0, (X,X3) = 0, {X,X,) = XJ, 



^ ^ \{X,X,) = XJ, {X,X,) = X,f, iX,X,) = 0. 



7i. B. besitzt die Gruppe 



q p xq xp -\- yq 



diese Zusammensetzung. 



Eine Gruppe von der Zusammensetzung (IV) hat eine eingliedrige 

 invariante Untergruppe, X^/", sowie zwei zweigliedrige invariante Unter- 

 gruppen, nämlich ausser der ersten derivierten Gruppe X^f, X^^f noch 

 X^f, X^f. Ferner ist X^/", X^f, IX^f -{- ^X^f die allgemeine Form 

 jeder dreigliedrigen invarianten Untergruppe. In Fig. 52 ist die Zu- 

 sammensetzung (IV) schematisch dargestellt. 



Sei andererseits (?=j=0. Dann lässt sich aX^f -[- hX^f passend 



als neues X^f und —X^f als X^f so einführen, dass (X2X3) ^ X^f, 



also (? = 1, ß = wird. Die Relation (18) giebt dann d = 0. 

 Benutzt man X^f — g^Xy/' als X,J, so wird cp = und es kommt: 



