Zusammensetzung der integr. viergl. Gr. ohne dreigl. Involutionsgruppe, 583 



{X,X,) = 0, (X,X,) = 0, {X,X,) = XJ, 



iX,X,) = YXJ, liX,X,) = 0, {X,X,)~8XJ+^X,f. 



Hier ist sicher y-^0, weil sonst XJ, X^f, XJ eine Involutions - Crg 



bilden. Also werden wir - X4/' als neues X4 Z' benutzen, sodass y = l 



wird. Indem wir alsdann X^f—sX^f und XJ-\-il)X.J als neues 

 Xg/" und XJ einführen, finden wir {X^X^^iO, sodass der Typus 

 hervorgeht : 



(Z,X,) = 0, (X,X3) = 0, {X,X,) = X,f, 



^^^ \{X,X,) = XJ, {X,X,) = 0, (X3XJEEEO 



Ein Beispiel hierzu ist die Gruppe: 

 q p xp yq. 



Eine Gruppe von der Zusammensetzung (V) besitzt zwei ein- 

 gliedrige invariante Untergruppen X^f und X.J'. Im übrigen haben 

 wir gerade diese Zusammensetzung früher schon als Beispiel ausführ- 

 lich behandelt. Siehe Fig. 48, § 3 des 18. Kap. Auf der unten 

 folgenden Figurentafel 52 ist die Zusammensetzung (V) ebenfalls 

 schematisch dargestellt. 



Sei schliesslich die erste derivierte Gruppe nur eingliedrig, also all-i^>-^«,ie^^^^^^"^- 

 gemein: cinguodrig. 



(X,X,) = UiuXJ (i, l = 1, 2, 3, 4). 

 Die Identität: 



((X,X3)XJ + ((X3X4)X,) + ((X,X,)X3) = 

 giebt dann 



«23 «U + «Ü4«12 + «42 «13 = 0- 



Man kann nun zAvei von einander unabhängige aXJ -\- hX.^f-\- cXJ 

 stets so bestimmen, dass sie mit XJ combiniert Null geben. Benutzt 

 man sie als XJ und XJ, so ist also «12 = «13 = 0? ^^^ ^^^ obige 

 Gleichung giebt 



«23«U = ^' 



Wäre «23 = 0; so würden XJ, XJ, X3/' eine Involutions-G^3 bilden. 

 Also ist a^3 =1= 0, d. h. a^^ = 0. Daher ist auch «3^ ^= 0, «4^ 4= 0. 

 Wir haben somit: 



(x,xo = o, (x,x,) = «,,x,/; 



{i, Jc = 2,d, 4), 



wobei alle drei aa 4= ^ sind. Nun lassen sich a, h so wählen, 

 dass aXJ-\-'bX.^f mit XJ vertauschbar wird, sodass diese beiden 



