584 Kapitel 20, §§ 4, 5. 



mit X^f eine Involutions - (rg bilden, was nicht sein darf. Hier ge- 

 langen wir also zu gar keiner Zusammensetzung. 



Wir sind daher zu Ende mit der Bestimmung aller Typen von 

 Zusammensetzungen viergliedriger Gruppen ohne dreigliedrige Involu- 

 tions-Untergruppen. 



§ 5. Zusammensetzung der viergliedrigen Gruppen mit drei- 

 gliedriger Involutionsgruppe. 



Es sei X^f..X^f eine viergliedrige Gruppe (7^, die eine drei- 

 gliedrige Involutionsgruppe X^f, X^f, Xg/' enthält, sodass also 



(X,X,) = 0, {X,X,) = 0, {X,X,) = () 

 ist. 



■^oincT^ Sicher enthält die G^ eine invariante dreigliedrige Involutious- 



'iIÄro^'^PP^- D«"^ ^^"^ <^ie Gruppe XJ, XJ, X,f selbst nicht in der 

 G^ invariant ist, so nimmt ihre Bildebene 64 = im Räume B.^ der 

 adjungierten Gruppe E^f. . E^f bei dieser adjungierten Gruppe andere 

 Lagen an. Wir können daher annehmen, dass alsdann sowohl 

 ^if} ^2/7 ^sf ^Is auch Xj/', Xj/*, X^f eine Involutionsgruppe dar- 

 stellen. Dasselbe gilt dann offenbar auch von Xj^f, X^f, X^f+ ^XJ. 

 Die zugehörigen Bildebenen bilden ein Büschel, das von der adjungier- 

 ten Gruppe E^f. . E^f in sich transformiert wird, denn die Bildpunkte 

 von X^f und X^f bleiben bei der adjungierten Gruppe fest, da alle 

 Klainmerausdrücke mit X^f und X^f Null ergeben. Die adjungierte 

 Gruppe transformiert die 00^ Ebenen des Büschels projectiv und zwar 

 höchstens zweigliedrig, da Ej^f und E^f jede der Ebenen für sich in- 

 variant lassen. Also bleibt nach Theorem 15, § 2 des 5 Kap., min- 

 destens eine der Ebenen in Ruhe. Sie stellt eine invariante Involu- 

 tions-^Tg der G^ dar. 



Diese Überlegung lässt sich sofort verallgemeinern und führt 

 dadurch zu dem 



Satz 12: Enthält eine r-gliedrige Gruppe eine (r — l)-gliedrige 

 Involutionsgruppe, so enthält sie sicher eine invariante (r — \)-gliedrige 

 Involutionsgruppe. 



Sie ist daher auch sicher integrabel. Eine nicht - integrabele 

 r-gliedrige Gruppe enthält also keine (r — l)-gliedrige Involutions- 

 gruppe. 



Wir dürfen hiernach annehmen, X^f\ X^f, X^f sei eine invariante 

 Involutions -(rg der G^. E^f, E^f, E^f lassen jeden Punkt der zu- 

 gehörigen Bildebene e^ = im J^g in Ruhe. Diese Punkte werden 



