586 Kapitel 20, § 5. 



also nur durch E^f und zwar projectiv transformiert. Allgemein wird 

 ^i^i/+ ^2^2/"+ «^s^s/" durch einen Punkt dieser Ebene mit den 

 homogenen Coordinaten e^, e^ , Cg dargestellt. Die Coordinaten 

 ^1, ^27 h werden von EJ linear und homogen transformiert, indem 

 ßx^i/'+ ^2^2/^+ %^%f vermöge XJ übergeht in 



c^XJ-^ e,X,f+ e,X,f-\- {e,XJ + e,X,f+ e,X,f, XJ)dt. 



Durch passende Auswahl der drei infinitesimalen Transformationen 

 XJ, X^f, XJ aus der Schar aller e^XJ -\- e,XJ -}- e^XJ lässt sich 

 erreichen, dass die infinitesimale lineare homogene Transformation von 

 61, 62, ^3 eine der in § 3 des 19. Kap. unter IX aufgestellten typischen 

 Formen annimmt. Dabei bleiben in der Ebene c^ = gewisse Punkte 

 und Geraden in Ruhe. (Vgl. Fig. 49, S. 511.) Sie stellen invariante 

 ein- und zweigliedrige Untergruppen der G^^ dar. 



Krster Fall. ErstcT Füll: Es bleiben in der Ebene 6^ = drei Geraden und 

 Punkte in Ruhe. Dieser Fall entspricht der ersten Gruppe unter IX 

 in § 3 des 19. Kap., die so geschrieben werden kann: 



Hier ist also anzunehmen: 



(1) Ux,X,) = aX\f, {X,X,) = ßX,f, {X,X,) = yX,f 



Wäre a = ß oder a = y oder /3 = y, so würden mehr als drei Punkte 

 der Ebene e^ = in Ruhe bleiben, ein Fall, der nachher besonders 

 auftritt. 



Ein Beispiel zur Zusammensetzung (I) giebt diese Gruppe: 



p q r axp -j- ßyq + yzr. 



In Fig. 53, die weiter unten folgt, ist die Zusammensetzung 

 schematisch unter I. dargestellt. Der Fall, dass eine der Zahlen a, ß, y 

 verschwindet, ist dabei deshalb besonders angegeben, weil in diesem 

 Falle die erste derivierte Gruppe bloss zweigliedrig ist. 



Fall"' Zweiter Fall: Zwei invariante Geraden und zwei invariante 



Punkte. Letztere seien die Bildpunkte von XJ, X^f, erstere die Ver- 

 bindende beider Punkte sowie die Gerade vom Bildpunkt von X^f 

 nach dem von XJ. Der zugehörige Typus unter IX in § 3 des 

 19. Kap. ist der zweite, wenn darin 1 und 2 vertauscht werden, 

 sodass er so zu schreiben ist: 



