Zusammensetzuag der viergliedrigen Gr. mit dreigl. luvolutionsgruppe. 587 



Es ist somit anzunehmen: 



[ (X, Z,) = (Z, X3) = (X3 xo - 0, 



(IT) hx,X,) = aXJ, (X,XJ = /3X,/; {X,X,) = X,f-^ßX,f 



Wäre cc = ß, so würden mehr als zwei Punkte in Ruhe bleiben. 

 Diese Zusammensetzung hat z. B. die Gruppe 



p q r ^q -\- axp + ß{yq + zr). 



In Fig. 53 ist die Zusammensetzung unter IL dargestellt. Die 

 Fälle a = bez. /3 = 0, in denen die erste derivierte Gruppe nur 

 zweigliedrig ist, sind durch besondere Figuren wiedergegeben. 



Dritter Fall: Eine invariante Gerade und ein invarianter Punkt. '^^}^^^'' 

 Letzterer sei der Bildpunkt von XJ, erstere die Gerade von diesem 

 Punkte zum Bildpunkt von Xg/". Die zugehörigen Typen unter IX 

 in § des 19. Kap. sind der dritte und vierte, in denen aber 1 mit 

 2 zu vertauschen ist, also entweder: 



oder: 



x.,p, + ^2 2'l- 

 Daher ist entweder: 



,,_,. I {X,X,) = (X,X3) = (X3X,) = 0, 



^^^^M(x,x,) = x,/; {x,x,) = xj+x,f, {x,x,) = xj+x,f 



cujer: 



. I (X,X,) = (X,X3) = (X3X0 = O, 



^'^^^ UX,X,)-0, (X,XJeeeX,/; (X3X,)eeeX,/. 



Die erstere Zusammensetzung hat z. B. die Gruppe: 

 p q r zq-\- yp -\- xp -j- yq -{- ^^', 



die letztere diese: 



p q r r.q + yp. 



Siehe wieder Fig. 53 unter III. 



Vierter Fall: Invariante Strahlen eines Büschels und invariante vierter 



X all. 



Punktreihe, deren Gerade dem Büschel nicht angehört. Dies ist der 

 Fall des fünften Typus unter IX in § 3 des 19. Kap. Wenn wir den 

 Bildpunkt von X^f als Mittelpunkt des Büschels, die Gerade durch 

 die Bildpunkte von XJnw^ XV als Träger der Punktreihe wählen. 



