Zusammensetzung der viergliedrigen Gr. mit dreigl. Involutionsgruppe. 589 



Sechster Fall: Alle Punkte der Ebene e. = bleiben in Ruhe, sechster 

 Hier haben wir entweder vom letzten Typus unter IX. in § 3 des 

 19. Kap. auszugehen: x^p^ -\- x.^p^ -\- x.^p^ oder aber von der iden- 

 tischen Transformation. Erstere Annahme giebt die Zusammensetzung: 



\{X,X,) = XJ, {X,X,) = X,f, (X,X,)eeeXJ, 

 letztere diese : 



' {X,X,) = (X3X3) = (X3XO EEE 0, 



^^^ ^ \X,X,) EEE (X,X,) ~ (X3XJ E- 0. 



Diese Zusammensetzungen besitzen z. B. die Gruppen 

 p q r xp -\- yq -\- sr 



und 



q xq x^q x^q. 



In Fig. 54 sind diese Zusammensetzungen unter VI. dargestellt. 



Hiermit ist die Bestimmung aller mögliehen Zusammensetzungen 

 von viergliedrigen Gruppen beendet. Dass die aufgestellten Typen 

 sämtlich wesentlich von einander verschieden sind, erhellt ohne weiteres. 



In betreflf der Figuren heben wir noch hervor: Auf den Tafeln 53 ^"^- 



'-' mnrkungen 



nnd 54 sind die invarianten Untergruppen, die durch Punkte und Ge- ™ 'loa 

 raden der Ebene e^ == dargestellt werden, besonders hervorgehoben, t"'""'"- 

 ebenso die ersten derivierten Gruppen. Doch sind diejenigen invarian- 

 ten Untergruppen nicht markiert, welche die erste derivierte Gruppe 

 enthalten. Letzteres aus dem Grunde, weil ja ^ede ebene Mannigfaltig- 

 keit, welche die ebene Mannigfaltigkeit der ersten derivierten Gruppe 

 enthält, eine invariante Untergruppe darstellt. Die invarianten Unter- 

 gruppen, die nixjht in der Ebene C4 == darzustellen waren, sind eben- 

 falls nicht besonders markiert, weil sie evident sind. Sie werden näm- 

 lich durch die Geraden bez. Ebenen vom Bildpunkte von X/^f nach 

 allen invarianten Punkten bez. Geraden der Ebene e^ = gegeben. 

 Die graphische Wiedergabe dieser invarianten Untergruppen würde 

 die Bilder verwirren. Dass bei der letzten Figur von diesen Grund- 

 sätzen abgewichen wurde, liegt darin, dass hier jeder Punkt, jede Ge- 

 rade und jede Ebene des J?3 eine invariante Untergruppe darstellt. 



