592 Kapitel 20, § 6. 



§ 6. Gleichberechtigte endliche und infinitesimale Transformationen. 



In diesem Paragraphen wollen wir uns mit den gleichberech- 

 tigten Transformationen einer vorgelegten Gruppe eingehender be- 

 schäftigen. 



Angenommen, in n Veränderlichen x^ . . Xn liege eine r-gliedrige 

 Gruppe X^f..Xrf vor; die adjungierte Gruppe in e^ . . er sei E^f..Erf. 

 Jede endliche Transformation S der gegebenen Gruppe kann in cano- 

 nischer Form (vgl. § 1, 2 des 18. Kap.) mit den canonischen Para- 

 metern e^. .Cr gegeben gedacht werden. Wir wollen auf sie eine be- 

 liebige Transformation T der gegebenen Gruppe ausführen. Auch T 

 darf in canonischer Form mit den Parametern e^ . . Sr vorgestellt wer- 

 den. Die Transformation S' = T-^ST, die aus S durch Ausführung 

 von T hervorgeht, wird dann gewisse canonische Parameter e/. . e/ 

 haben^ für die 



r r 



e/= ßi -{-^SkE.ei -\- ^~ ^^ ^ e,siEi{Eie,) -\ 



1 1 



(^ = 1, 2 . . r) 



ist. S und S' heissen mit einander (innerhalb der gegebenen Gruppe) 

 gleicliberechtigte Transformationen (vgl. § 3 des 18. Kap.). 



Deuten wir, wie in § 1 des 18. Kap., S. 460, ausgeführt wurde, 

 e^..er als Cartesisclie Coordinaten eines Raumes Br von r Dimensionen, 

 so stellt jeder Punkt (e^ . . e^) dieses Raumes eine endliche Trans- 

 formation 8 der Gruppe Xyf. . Xrf dar und umgekehrt. Insbesondere 

 der Anfangspunkt stellt die Identität dar, die unendlich benach- 

 barten Punkte (ßj . . er) bedeuten die infinitesimalen Transformationen 

 HciXif der gegebenen Gruppe. Die adjungierte Gruppe E-i^f. . Erf ist 

 alsdann eine Gruppe von Punkttransformationen dieses Br, sie führt 

 gerade nur solche Punkte in einander über, die gleichberechtigte 

 Transformationen der gegebenen Gruppe darstellen. 



Denken wir uns also, wir hätten die kleinste invariante Mannig- 

 faltigkeit eines Punktes (e^-.er) des Br gegenüber der Gruppe Ej^f..Erf 

 schon bestimmt (vgl. § 1 des 16. Kap.), so hätten wir damit auch 

 alle endlichen Transformationen der gegebenen Gruppe gefunden, die 

 mit der gegebenen Transformation S oder (q . . er) gleichberechtigt 

 sind. Sie sind nämlich durch die Punkte dieser kleinsten Mannig- 

 rSem- f^l^'igkßit dargestellt. Das Problem, alle Scharen von gleichberech- 

 endf Tran'sf^^S*^^ endlichen Transformationen der gegebenen Gruppe zu bestimmen, 

 deckt sich also mit dem, alle kleinsten invarianten Mannigfaltigkeiten 



