Gleichberechtigte endliche und infinitesimale Transformationen. 593 



gegenüber der adjungierteu Gruppe EJ..Erf im Räume Br von r 

 Dimensionen zu bestimmen. Hierfür aber haben wir im 16. Kap. eine 

 allgemeine Methode gefunden, die wir nachher anwenden werden. 



Vorher besprechen wir ein mveites Problem: Da iede einsrliedriffe zweites 



TT X 11^^ JOS Problem: 



Untergruppe der gegpbenen Gruppe bei Ausführung einer Transforma- «leichber. 



1-1 1 ,^ . 1 . . oiugliedr. 



tion der gegebenen Gruppe wieder m eme eingliedrige Untergruppe i^^^t^^gr. 

 übergeht, so kann man auch nach den (innerhalb der gegebenen Gruppe) 

 gleicJibereehtigten eingliedrigen Untergruppen fragen. Jede solche wird 

 durch einen Strahl durch den Anfangspunkt dargestellt; die ad- 

 jungierte Gruppe führt — als lineare homogene Gruppe — jeden 

 solchen Strahl wieder in Strahlen durch über. Es wird also unsere 

 Aufgabe sein, die Mannigfaltigkeit aller der Strahlen zu bestimmen, 

 in die ein Strahl durch den Anfangspunkt bei der adjungierten Gruppe 

 übergeht. Jede derartige Mannigfaltigkeit wird durch ein in e^ . . e,. 

 homogenes bei der adjungierten Gruppe invariantes Gleichungensystem 

 dargestellt. Man findet bekanntlich diese Mannigfaltigkeiten, indem man 

 zu den infinitesimalen Transformationen E^f. . lJ,f der adjungierten 

 Gruppe noch diejenige hinzufügt, die jeden Punkt in der Richtung 

 seines Radiusvectors fortführt: 



und sodann bei der Gruppe EJ.Erf, Ef die kleinsten invarianten 

 Mannigfaltigkeiten bestimmt. 



Unser jetziges Problem kann übrigens offenbar auch so aus- 

 gesprochen werden: Allen Scharen von (innerhalb der gegebenen Gruppe) 

 gleichberechtigten infinitesimalen Transformationen zu finden. 



Wenn zwei endliche Transformationen der gegebenen Gruppe mit 

 einander gleichberechtigt sind, so sind es auch die beiden eingliedrigen 

 Untergruppen, denen sie angehören. Denn sind p und p die Bild- 

 punkte der beiden endlichen Transformationen im Räume Pir, so ent- 

 hält die adjungierte Gruppe sicher eine Transformation, die p in p' 

 überführt, also auch den Strahl Op in Op. Diese Strahlen stellen 

 aber die in Frage stehenden eingliedrigen Untergruppen dar. Man er- 

 sieht hieraus, dass unser zweites Problem erledigt ist, sobald man das 

 erste gelöst Imt. 



Wir werden also eine endliche Transformation 8 der gegebenen 

 Gruppe ins Auge fassen und die kleinste invariante Mannigfaltigkeit 

 M ihres Bildpunktes p im Räume B,- gegenüber der adjungierten 

 Gruppe aufsuchen. Wir wählen auf ihr beliebige Punkte allgemeiner 



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