594 Kapitel 20, § 6. 



Lage p' , Bildpunkte endlicher Transformationen S' der Gruppe 

 Xi/". . Xrf. Mit S sind alle S' gleichberechtigt und ausser ihnen 

 keine Transformationen. Mit der eingliedrigen Untergruppe, der S 

 angehört und die durch Op dargestellt wird, sind alle eingliedrigen 

 Untergruppen gleichberechtigt, denen die S' angehören und die durch 

 die Strahlen Op dargestellt werden, und ausserdem keine eingliedrigen 

 Untergruppen. Wenn der Strahl Op der Mannigfaltigkeit M voll- 

 ständig angehört, so gehört ihr auch jeder der Strahlen O^j voll- 

 ständig an, da p wie p von allgemeiner Lage auf 31 ist (vgl. Satz 3, 4, 

 § 1 des 16. Kap.). Alsdann also ist jede Transformation der durcli 

 Op dargestellten eingliedrigen Untergruppe mit jeder der durch Op 

 dargestellten gleichberechtigt. Wenn dagegen die Mannigfaltigkeit M 

 den Strahl 0]^ nicht enthält, so enthält sie auch nicht den Strahl Op'. 

 In diesem Falle ist zwar die Untergruppe, die durch Op dargestellt 

 wird, mit der durch Op' dargestellten gleichberechtigt, nicht aber jede 

 Transformation der einen mit jeder der anderen. 



Zurück- Unsere beiden Probleme kommen hiernach darauf hinaus, alle 



lühruiig 



auf Olli kleinsten invarianten Mannigfaltigkeiten im Baume B,. hei der adjungier- 



i'rc.bicm. fßfi Gruppe m bestimmen. Unter diesen Mannigfaltigkeiten haben 



dann nach dem Bemerkten diejenigen ein eigenes Literesse, die aus 



lauter Strahlen durcli bestehen, deren Gleichungen also in Cj . . e,. 



homogen sind. 



Nachdem wir somit die Probleme auf ein schon früher erledigtes 

 zurückgeführt haben, gehen wir dazu über, die früher entwickelte 

 Methode anzuwenden. Wir machen dabei von einigen Formeln Ge- 

 brauch, die vorangeschickt werden sollen. 



adjiingiort 

 Gruppe, 



Formeln Nach dem Hauptsatze bestehen Relationen von der Form 



1)01 der ^ 



r 



■. (X,X,) EEE^^Ca^XJ (i, k=l,2.. r). 

 Nach Theorem 33, § 2 des 18 Kap., ist nun 



r 



(10) E,f = ^^ ca-s e; |f- (/. = 1, 2 . . r) . 



1 * 



Setzen wir zur Abkürzung 



r 



(20) ^c,-..e, = £,. (Ä;=l,2..r), 



X 



so ist auch: 



