Gleichberechtigte endliche und infinitesimale Transformationen. 



(19') ^/-i?^.if 



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(^=1, 2..r). 



Wir bilden die Matrix aller EJ. . E^f und von 



E/- 



rfEe, 



nämlich : 



(21) 





+ ^2 l/ + • • + Cr 



ae 



1/ 



£,.> 



foi foo 





^2r 



Die r- reihige Determinante, die aus der Matrix durch Streichen der 

 ^ten Horizontalreihe und Multiplication mit ( — ly+x-k hervoro-eht, sei 

 mit Jk bezeichnet, insbondere aber z/,+i kurz mit z/. Es ist also 

 z/ die Determinante aller £j,,. In § 1 dieses Kapitels haben wir in 

 Formel (10) erkannt, dass z/ identisch Null ist: 



^ EEE I £,, i = 0. 



Es folgt hieraus, dass zwischen EJ. . Er f eine lineare Gleichung iden- 

 tisch besteht. In der That ist 



(22) e,EJ-i--.CrErf=0, 



denn hierin ist die linke Seite 



r 



2' 



iekE,fEE^_^Ca.eiC,ir 



?, k, s 



de.. 



m 



Unter dem Summenzeichen kommt e,<?i. 4- zweimal, einmal mit de 



Coefficienten C/a-, und dann mit dem Coefficienten Cj,;, vor. Da aber 

 Ciks + (^ku nach dem dritten Fundamentalsatz Null ist, so ist auch die 

 ganze Summe identisch Null. Die Identität (22) hat ihre begriffliche 

 Erklärung darin, dass die infinitesimale Transformation der adjungier- 

 ten Gruppe, die im homogenen Räume den Bildpunkt (e^ : • • • : e,) be- 

 sitzt, diesen Punkt in Ruhe lässt. Wir haben ja auch damals, als 

 vom Verschwinden der Determinante z/ die Rede war, in § 1 dieses 

 Kap., Q = als triviale Wurzel der dortigen Gleichung (9) bezeichnet, 

 für die eben die damalige Gleichung (8) durch Si, = ej, erfüllt wird, 

 wodurch unsere Identität (22) hervorgeht. 



Die Identität (22) zerfällt unmittelbar in die r einzelnen: 



ei£u + c.>e2s + h e^-e,., = 



(s = l, 2..r). 



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