596 Kapitel 20, § 6. 



Denken wir uns zu dieser Gleichung links zum Schluss noch e, • hin- 

 zugefügt, so liegt ein System von r linearen homogenen Gleichungen 

 hinsichtlich der r -\- \ Grössen e^ . . Cr, vor. Da diese r -{- 1 Grössen 

 nicht sämtlich Null sind, so folgt, dass sie sich zu einander wie die 

 r- reihigen Unterdeterminanten der Matrix des Systems verhalten. 

 Diese Matrix ist aber die Matrix (21), nur sind die Horizontalreihen 

 mit den Verticalreihen vertauscht. Also folgt — auch genau hinsicht- 

 lich des Vorzeichens — 



(23) ^ = ^!=.. = ^r. 



z/a ist eine homogene ganze Function vom r^"" Grade in e^ . . er, also 



eine homogene rationale Function (r — 1/''" Grades in ej,.e^. Es 

 ^k 



ist nun auch klar, dass sie eine ganze Function ist, denn wäre sie ge- 

 brochen, d. h. hätte sie den nicht hebbaren Nenner Ck, so müsste sie 

 wegen (23) ebenso die nicht hebbaren Nenner e^ . . e,. haben. 

 Fun^ion / ^^ existiert also eine homogene ganze Function (r — 1)*^'* Grades 



J von c^ . . Cr derart, dass 



(24) ^k = e,J (/c=l, 2..r) 

 ist. 



Ferner schicken wir einen Satz voraus, der sich auf die Form 

 der Invarianten einer linearen homogenen Gruppe bezieht. Nach 

 Theorem 29, § 4 des 16. Kap., findet man alle Invarianten einer 

 Gruppe Ulf., üqf durch Integration des (höchstens g'-gliedrigen) voll- 

 ständigen Systems ?7j/"=0, . .Uqf= 0. Es gilt nun der 



Satz 13 : Besitzt eine lineare Jiomogene Gruppe in Cj . . e^ gerade q 

 Invarianten vo^ einander unabhängige Invarianten, so besitzt sie auch q von einander 

 lin. hom. tmahhängige Invarianten, die sämtlich homogen in Ci-.Cr sind, und zwar 

 entweder sind sie sämtlich homogen von nullter Ordnung, oder aber es 

 sind q — 1 homogen von nullter und eine homogen von erster Ordnung. 



Ist nämlich Uif. . Uqf die vorgelegte lineare homogene Gruppe 

 in e^ . . Cr, so sind ihre Invarianten die Lösungen des vollständigen 

 höchstens ^-güedrigen Systems 



UJ=0, ...Uqf=0. 



Angenommen, dies sei ein _p-gliedriges vollständiges System (l> <^ </), 

 sodass gerade r — p von einander unabhängige Invarianten vorhanden 

 sind. Alsdann bilden die folgenden linearen homogenen partiellen 

 Differentialgleichungen in r -|- 1 unabhängigen Veränderlichen ei.-Cr, f: 



Gruppe. 



