GleicHberechtigte endliche und infinitesimale Transformationen. 597 



(25) U,F=O...U,F=0, EF-{-f^^j = 



ein vollständiges System, da wegen der Form von E/' (vgl. S. 595) 



{u^F,BF-}-f^^) = (1 = 1, 2. .q) 



ist. Das System ist gerade {p -\- l)-gliedrig, da die letzte Gleicliuug 

 offenbar von den q ersten unabhängig ist. Das System enthält r -{- 1 

 Veränderliche, hat also r + 1 — (p + 1) = r — _p von einander un- 

 abhängige Lösungen ^(6^ . . c^ f)- Unter diesen werden gewisse von 

 f freie vorhanden sein. Für diese reduciert sich das System auf 



C/jF = . . . U,F = 0, EF= 0. 



Diese Gleichungen bilden ein ^-gliedriges System in ei..er, wenn die 

 letzte Gleichung nur eine Folge der übrigen ist, sonst ein (p + 1)- 

 gliedriges. Sie besitzen also im ersten Fall gerade r—p, im zweiten 

 Fall nur r — p — 1 von einander unabhängige Lösungen F, die In- 

 varianten der Gruppe und wegen EF = homogen von tnilltcr Ord- 

 nung in ei..er sind. Ist der zweite Fall eingetreten, so existiert noch 

 eine nicht von /" freie Lösung F von (25). Setzen wir sie gleich 



Constans : 



F{e^ . . e,, f) = a, 



so giebt die Auflösung nach f eine Function /) die den Gleichungen 

 UJ=0... UJ=0 und 



Ef=f 



irenücft d. h. die Invariante der Gruppe und homogen von erster Ord- 

 nung ist. 



Nach diesen Vorbemerkungen gehen wir an die rechnerische Er- 

 ledigung des oben begrifflich erläuterten Problems. Alle Invarianten 

 der adjungierten Gruppe E J. . E,f ^ndet man durch Integration des 

 vollständigen Systems 



Es ist höchstens (r — l)-gliedrig, da seine Determinante z/ = ist, 

 und besitzt deshalb mindestens eiue Lösung. Die adjungierte Gruppe 

 besitzt also mindestens eine Invariante. Nach dem vorhergehenden 

 Satze wissen wir überdies, dass entweder alle Invarianten oder aber 

 alle bis auf eine homogen von nuUter Ordnung angenommen werden 

 können, während im letzteren Falle die noch fehlende Invariante 

 homogen von erster Ordnung gewählt werden kann. 



