598 Kapitel 2ü, § G. 



AnSme: ^^^^ «^^^ Invarianten homogen von nuUter Ordnung, so liefern sie 



Lom. v"on g^^ich CoDst. gcsetzt eine solche invariante Zerlegung des Raumes Br 

 Ordnung. ^^^ ^^^n gewöhnlichen Coordinaten e,..e,, dass die einem Punkte all- 

 gemeiner Lage zugeordnete kleinste invariante Mannigfaltigkeit aus 

 lauter Strahlen durch besteht. Wir werden aber weiter unten nach- 

 weisen, dass der hier betrachtete Fall gar nicht eintreten kann. 

 AiSme: ^^^ ^^^^ Invariante homogen von erster Ordnung, während die 



hom. v°on Übrigen homogen von nullter Ordnung gewählt werden können, so 

 erster ordn.ergiebt sich, Wenn die Invarianten gleich Constans gesetzt werden, 

 eine solche invariante Zerlegung des Rr, dass die einem Punkt all- 

 gemeiner Lage zugeordnete kleinste invariante Mannigfaltigkeit nicht 

 mehr aus Strahlen durch besteht. Wenn überhaupt nur eine In- 

 variante — also die von erster Ordnung — vorhanden wäre, so wür- 

 den also zwei allgemein gewählte eingliedrige Untergruppen oder in- 

 finitesimale Transformationen der gegebenen Gruppe, für die ja nur 

 die Invarianten nullter Ordnung in betracht kommen, stets mit ein- 

 ander gleichberechtigt sein. Sind mehr als eine Invariante vorhanden, 

 so ist dies nicht mehr der Fall. Aber bei beiden Annahmen sind 

 nicht mehr die allgemeinen endlichen Transformationen zweier gleich- 

 berechtigter eingliedriger Untergruppen ebenfalls gleichberechtigt. Viel- 

 mehr giebt die von erster Ordnung homogene Invariante das Kriterium 

 zur Entscheidung der Frage, welche endlichen Transformationen der 

 zweiten Untergruppe mit einer allgemeinen der ersten gleichberechtigt 

 sind. Es sind nämlich diejenigen, für welche die fragliche Invariante 

 denselben Wert besitzt. 



Bedeutung ßi^e bcsoudere Rolle spielt die oben gefundene Function J. 



Function./. Nehmen wir nämlich zunächst an, J sei identisch Null, so sind 



nach (24) ^^. . /I^ sämtlich wie z/ identisch Null. Das vollständige 



System 



ist somit alsdann höchstens (r — l)-gliedrig und besitzt daher min- 

 destens eine Lösung, die wegen Ef=0 von nullter Ordnung homogen 

 ist. Ist J ^ 0, so ist es also sicher, dass die adjungierte Gruppe 

 mindestens eine Invariante nullter Ordnung besitzt, anders ausge- 

 sprochen, dass zwei eingliedrige Untergruppen oder infinitesimale 

 Transformationen der gegebenen Gruppe im allgemeinen nicht gleich- 

 berechtigt sind. 



Ist andererseits die Function J nicht identisch Null, so sind 

 z/j . . z/^ nach (24) sämtlich von Null verschieden, sodass das voll- 



