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Kapitel 20, § 6. 





 e.. 



Ordnung, /c,^ — 4e,e3 = Const. stellt also eine Schar von einzeln 

 invarianten Flächen zweiter Ordnung dar. Von allen diesen besteht 

 nur der Kegel ^2^ — 4^163 = aus lauter Strahlen durch 0. Für einen 

 P unkt allgem einer Lage des Raumes B^ ist die hindurchgehende Fläche 

 1/^2^ — 461^3 = Const. die kleinste invariante Mannigfaltigkeit. Spe- 

 cieller Lage sind nur die Punkte des Kegels J=Q. Für keinen 

 Punkt von «7=0, ausser dem invarianten Anfangspunkt, verschwinden 

 alle zweireihigen Determinanten von 



62 ^ Co 



^= e, 



2^1 



Daher ist der Kegel J=0 für jeden seiner Punkte, ausser der Spitze, 

 die kleinste invariante Mannigfaltigkeit. Hieraus schliessen wir: Bei 

 der Grupp e p, xp, x^p sind alle endlichen Transformationen (e^, Cg, Cg), 

 für die Yc^^ — 4.e^e^ denselben Wert hat, gleichberechtigt. Dagegen 

 sind überhaupt alle eingliedrigen Untergruppen oder, was dasselbe ist, 

 infinitesimalen Transformationen e^p + e^xp + e^x^p mit einander 

 gleichberechtigt, mit Ausnahme derer, für die e.^^ = Ae^e^ ist. Diese 

 sind nur unter sich gleichberechtigt. Hätten wir e^, e.^, e^ als homo- 

 gene Punktcoordinaten der Ebene gedeutet und entsprechend nur die 

 infinitesimalen Transformationen ins Auge gefasst, so hätte ^=0 

 einen invarianten Kegelschnitt dargestellt, wie in Fio- 45 § 3 des 

 18. Kap. 



2. Beispiel: Bei der Gruppe 



p q xp-}- cyq (c 4= 0) 

 lautet die adjungierte Gruppe: 



df 



also die Matrix (20): 



E.J: 



•C<?a 



Hier ist 

 also 



— e« 





 ce., 



CCc 



EJ-: 











 

 e^ 



— ce, e 



1^3 y 



^o 



CC2G3 , Z7g 



Cßo 



J 



Das vollständige System 



i 

 e 



— — C€o 



