Gleichberechtigte endliche und infinitesimale Transformationen. 601 

 EJ=0, RJ=-0, EJ=0 



in Cj, C2, ^3 ist zweigliedrig und wird durch f =■ J erfüllt. Wir 

 können e^ als die lineare Invariante wühlen, c.^ = Const. stellt also 

 eine Schar von oo^ einzeln invarianten Ebenen im li^ dar. Specieller 

 Lage sind nur die Punkte von e^ = 0. Für diese verschwinden alle 

 zweireihigen Determinanten von 



J = 



^3 



—ce., 

 e, ce., 



nicht aher die einreihigen — abgesehen vom Anfangspunkt. Für e.^ = 

 haben wir also nur ein eingliedriges System mit der Lösung e^° : e^. 

 Hieraus folgt, da überdies nur die Ebene c^ = aus lauter Strahlen 

 durch besteht: Zwei endliche Transformationen {c^^ Cg, C3) der 

 gegebenen Gruppe sind dann und nur dann gleichberechtigt, wenn Cy 

 bei beiden denselben von Null verschiedenen Wert hat oder bei beiden 

 f 3 = ist und e/ : 63 gleichen Wert hat. Zwei eingliedrige Unter- 

 gruppen allgemeiner Lage sind dagegen stets gleichberechtigt. Nur 

 die eingliedrigen Untergruppen q^) -j- c^^ sind stets nur unter sich 

 gleichberechtigt. 



3. Beispiel: Bei der Gruppe 



ist die adjungierte: 



p xp q 



also z/j EE ^/a ^ ^3 ^ und daher t7^ 0. Hier existiert also sicher 

 eine Invariante nuUter Ordnung. In der That ist das vollständige 

 System 



EJ^O, EJ=0, EJ=0 



nur eingliedrig und besitzt die Lösungen e^ und e.^, sodass — die In- 



Variante nullter Ordnung ist. Der Raum zerfällt in oo^ einzeln in- 

 variante Geraden e^ == Const., e^ == Const. parallel der ersten Axe. 

 Einziger Punkt, für den auch alle einreihigen Determinanten von ^ 

 verschwinden, ist der Anfangspunkt. Zwei endliche Transformationen 

 (^i> ^2> ^3) der vorgelegten Gruppe sind also nur dann gleichberechtigt, 

 wenn ^g "^d e^ bei beiden denselben Wert haben. Von den ein- 

 gliedrigen Untergruppen c^p> -j- c^xpt -f~ ^'3(Z sind diejenigen gleich- 



