Gleichberechtigte endliche und infinitesimale Transformationen. 603 



Andererseits hat bei der gemacliten Voraussetzung, dass alle 

 (r — w«)- reihigen, nicht aber alle {r — m — 1)- reihigen Unterdeter- 

 minanten von z](q) für Q = verschwinden, die adjungierte Gruppe 



r 



nach Theorem 29, § 4 des 16. Kap., gerade m -f 1 von einander un- 

 abhängige Invarianten. 



Satz 14: Iti einer r-gliedrigen Gruppe XJ. . Xrf gehört eine all- 

 gemein gewählte infinitesimale Transformation dann und nur dann gerade 

 oo'n-i verschiedenen zweigliedrigen Involutions -Untergruppen an, ivenn die 

 adjungierte Gruppe E^f. . Erf der Gruppe X^f. . Xrf gerade m -f- 1 von 

 einander unabhängige Invarianten hesifzt. 



Wenn die adjungierte Gruppe nur eine Invariante besitzt, so 

 ist die Zahl jener Involutions -Untergruppen gleich Null, wenn sie 

 gerade zwei Invarianten besitzt, so ist diese Zahl Eins, wie man 

 ohne Mühe einsieht, wenn man die obige Betrachtung für diese 

 besonderen Fälle durchführt. Es ist daher in unserem Satze für 

 t^ = — 1 die Grösse oo« gleich Null, für n = aber gleich Eins zu 

 setzen. 



Im Fall unseres Satzes ist die kleinste invariante Mannisfaltig- 

 keit, welche die adjungierte Gruppe einem Punkte (e^ . . er) allgemeiner 

 Lage im r-fach ausgedehnten Räume Er mit den gewöhnlichen Punkt- 

 coordinaten e^ . . e^. zuordnet, gerade (r — m — l)fach ausgedehnt. 



Wir werden den Satz nachher anwenden, um zu beweisen, dass 

 die adjungierte Gruppe sicher eine Invariante besitzt, die nicht von 

 nullter Ordnung homogen ist. 



Um diese Anwendung machen zu können, fassen wir noCh ein an- 

 deres ebenfalls in § 1 schon besprochenes Problem abermals ins Auge: 



Eine vorgelegte infinitesimale Transformation EeiXif der ge- inf. Transf., 

 gebenen Gruppe bleibt bei einer anderen UskXkf in Kühe, d. h. der in ruUb 

 Strahl, Avelcher die eingliedrige Untergruppe UCiXif im Br darstellt, 

 bleibt bei der infinitesimalen Transformation Us/iXicf der adjungierten 

 Gruppe in Ruhe, wenn 



(UeiXif, ZBkX,f) = <5SetX;f 



ist, nach Satz 2, § 3 des 18. Kap. Die Frage nach den UskX/cf, die 

 dieser Bedingung genügen, wurde nun schon in § 1 besprochen. Siehe 

 Gleichung (6) des § 1. Wir bemerkten schon damals, dass es vor- 



