604 Kapitel 20, § 6. 



kommen kann, dass kein Wertsystem «j . , f^ existiert, das unserer 

 Forderung bei nicht verschwindendem a genügt. 



Jetzt aber werden wir zeigen, dass in der That, sobald e^..Cr all- 

 gemein gewählt werden, nur solche unsere Forderung erfüllende Wert- 

 systeme £i . . E,. existieren können, für die der Factor <5 = ist. Mit 

 anderen Worten, wir werden beweisen, dass in einer vorgelegten 

 Gruppe nicht jede allgemein gewählte eingliedrige Untergruppe einer 

 zweigliedrigen Untergruppe als invariante Untergruppe angehören kann, 

 es sei denn, dass die zweigliedrige eine Involutionsgruppe ist. 



Wir nehmen — entgegen dem, was wir beweisen wollen — an, 

 dass sich s^. . Er so bestimmen lassen, dass 



{2:eiXif, i:E,X,f) = 6EeiXif (<? + 0) 



ist, wenn 2JciXif eine allgemein gewählte iufinitesimale Transforma- 

 tion der gegebenen Gruppe bedeutet. Bei dieser Annahme enthält die 

 Gruppe X^f. . X,.f mindestens oo''-i zweigliedrige Untergruppen G.^ 

 mit nicht vertauschbaren Transformationen, da jede der oo''— ^ infini- 

 tesimalen Transformationen 2JeiXif in mindestens einer als invariante 

 Untergruppe enthalten ist. Wir wollen uns ein anschauliches Bild 

 davon machen, indem wir auf die geometrische Deutung zurückgehen, 

 die wir früher häufig benutzten. Wir deuten e^ . .e^ als homogene 

 Punktcoordinaten in einem Räume Rr-i von nur r — 1 Dimensionen, 

 der durch die adjungierte Gruppe E^ f.. Er f in sich transformiert wird. 

 In diesem Räume werden jene G^ durch oo'— ^ Geraden dargestellt, 

 sodass durch jeden Punkt mindestens eine Gerade hindurchgeht. 

 Nehmen wir an, durch einen Punkt allgemeiner Lage gehen gerade 

 oo^ dieser Geraden. Da es insgesamt oo'— ^ Punkte giebt und je oo^ 

 Punkte auf einer Geraden liegen, so sind dann oop+('— i)-i Geraden 

 vorhanden. Es sollen aber mindestens oo^'-^ sein. Daher ist: 



2) -{- r — 2 ^r — 1, 

 also 



Durch einen beliebigen Punkt (e^ : • • • : er) gehen also mindestens oc^ 

 solche Geraden, darunter mindestens eine, die eine G2 darstellt, in der 

 gerade ZeiXif selbst invariant ist. 



Es ist sicher, dass UetXif nicht in allen den G^ invariant ist, die 

 durch jene <x>p Geraden dargestellt werden. Denn durch jeden anderen 

 Punkt (fj : • • • : Ej) geht ja auch mindestens eine Gerade, die eine G.^ 

 darstellt, in der IJskXj^f invariant ist. Von allen diesen 00'— 1 Ge- 

 raden gehen, wie wir sahen, sicher oo^ durch den Punkt (cj : • • • : e,). 



