Gleichberechtigte endliche und infinitesimale Transformationen. 605 



Und diese oo^ Geraden stellen somit G^ dar, die nicht UeiXjf als in- 

 variant enthalten. 



Also werden unter den oo^ G^, die nicht Involutionsgruppen sind 

 und die EeiXtf enthalten, sicher mindestens oo^ solche vorhanden sein, 

 die UeiXif nicht als invariant enthalten. Wir fassen alle diese G^ 

 ins Auge. Sie werden durch gewisse c»"? Geraden durch den Punkt 

 {Ci : • • • : c,) dargestellt, und zwar ist q mindestens gleich Eins. Auf 

 jeder dieser Geraden liegt ein Punkt («j : • • • : e^ derart, dass 

 (27) (2;e.-X,/; EB,X,f) = Q2J£,X,f 



ist. Diese Punkte (e^: ■ ■ • : £,) bilden eine gfach ausgedehnte Mannig- 

 faltigkeit Mq. Diese Mannigfaltigkeit ist natürlich continuierlich, wenn 

 wir die beschränkende Annahme () =h ^ nicht machen. Ihr gehört 

 dann offenbar auch der Punkt (cj : • • • : e,) selbst an, da 

 {UeiXif, UeiXif) = • I^e^X^f 



ist. Führt man nun die infinitesimale Transformation HeiEif der ad- 

 jungierten Gruppe aus, so bleibt nach (27) und nach Satz 2, § 3 des 

 18. Kap. jeder Punkt (f^ : • • • : £,) dieser Mq in Ruhe. Ist die min- 

 destens einfach ausgedehnte Mq nicht selbst eben, so liegt sie doch 

 in einer kleinsten ebenen Mannigfaltigkeit M, die also auch mindestens 

 einfach ausgedehnt ist. Sie wird erzeugt von allen Geraden, welche 

 die Mq schneiden. Da die adjungierte Gruppe Geraden in Geraden 

 überführt, so lässt also die infinitesimale Transformation 2JeiEif jede 

 Gerade in M in Ruhe, also auch jeden Punkt. Somit bleibt also auch 

 jeder Punkt der Geraden, die den Punkt (e^ : • • • : fv) mit irgend einem 

 jener Punkte (fj : • • • : £r) verbindet, für die (27) gilt, bei Ausführung 

 von ZCiEif in Ruhe. Hieraus folgt, dass, wie auch l gewählt 



ist, stets 



{Ee^Xif, Ee.X.f-^kEeiXd') 

 die Form 



Const. {EeuXj,f-{- XEdXif) 



haben muss. Aber dies ist offenbar falsch. Somit ist unsere Voraus- 

 setzung falsch. 



Wählt man also eine allgemeine infinitesimale Transformation c,, in der 

 EßiXif einer vorgelegten Gruppe XJ..X,.f, so existiert hcine infini- fnv^i„t' 



, halten ist. 



tesimale Transformation EsAf derart, dass 



{EciXif, EskX.f) = öEßiX^f 

 und dabei (5 =|= wird. 



Unser Ergebnis kann auch so ausgesprochen werden: Es giebt 

 gerade soviele infinitesimale Transformationen der adjungierten Gruppe, 



