606 Kapitel 20, § 6. 



die den Punkt allgemeiner Lage (e,:---:er) des Rr-i in Ruhe lassen, 

 als es infinitesimale Transformationen UskXkf giebt, die mit UeiXif 

 vertauschbar sind. 



In der Betrachtung, die zum Satz 14 führte, nahmen wir an, dass 

 es überhaupt oo"'+i infinitesimale Transformationen Us^X^f giebt, die 

 mit der allgemein gewählten infinitesimalen Transformation UeiX.f ver- 

 tauschbar sind, also nur oo'"-i zweigliedrige Involutions-Untergruppen, 

 denen UciXif angehört. Es giebt dann nach unserem jetzigen Er- 

 gebnis gerade oo'^+i infinitesimale Transformationen der adjungier- 

 ten Gruppe, die den Punkt (e, : ■ ■ ■ : e,) des E,_i invariant lassen. 

 Dieser Punkt erhält daher bei der adjungierten Gruppe durch alle 

 ^^kJ^kf genau r — w — 1 von einander unabhängige Fortschreitungs- 

 richtungen. Also ist die allgemeine eingliedrige Untergruppe Ue/Xif 

 der Gruppe XJ. . Xrf mit genau oo'— '«-i eingliedrigen Untergruppen 

 gleichberechtigt. Der R^-i besitzt also bei der adjungierten Gruppe 

 eine solche invariante Zerlegung, dass die einem Punkte allgemeiner 

 Lage zugeordnete kleinste invariante Mannigfaltigkeit gerade (r—m—1)- 

 fach ausgedehnt ist. Da der B^-i gerade (r-l)fach ausgedehnt ist, 

 so wird diese invariante Zerlegung durch gerade r — l — (r—m-~l) = m 

 von einander unabhäugige Invarianten der adjungierten Gruppe ver- 

 mittelt. Aber wie wir wissen, kommen hierbei nur die Invarianten 

 nullter Ordnung der adjungierten Gruppe in betracht. Somit folgt: 

 Die adjungierte Gruppe besitzt genau m von einander unabhängige 

 Invarianten von nullter Ordnung. Da sie nach Satz 14 überhaupt 

 gerade m + 1 von einander unabhängige Invarianten besitzt, so er- 

 giebt sich, dass eine Invariante vorhanden ist, die nicht nullter Ord- 

 nung ist, die also, wie wir sahen, homogen von erster Ordnung an- 

 genommen werden kann. 



eS'inv. ^^^2 1^' ^^^ adjungierte Gnippe EJ..Erf einer r-gliedrigen 



''de72df'^^^*^^^^^ ^if--Xrfhesit0t stets eine Invariante, die homogen von erster 

 Gruppe. Ordnung in e^..er ist. Die übrigen etwa noch vorhandenen Invarianten 

 Jcönnen sämtlich homogen von nullter Ordnung gewählt werden. 



Hiermit ist eine früher aufgestellte Behauptung bewiesen, und 

 wir können weiterhin sagen: 



Satz 16: Es giebt keine Gruppe, in der eine allgemein ausgewählte 

 endliche Transformation mit allen endlichen Transformationen ihrer ein- 

 gliedrigen Untergruppe gleichberechtigt wäre. 



Da die von nullter Ordnung homogenen Invarianten das voll- 

 ständige System 



EJ=0 . . Erf=Q, Ef=0 



