J als 

 Invariante 



Gleichberechtigte endliche und infinitesimale Transformationen. 607 



befriedigen, aber die Invariante erster Ordnung die Gleichung E/"=0 

 nicht erfüllt, so können wir den Satz 15 auch so aussprechen: 



Satz 17: Die adjungierte Gruppe E^f..Erf einer r-gliedrigen 

 Gruppe Xj/". . Xrf enthält niemals die infinitesimale Transformation 



df . df' , . 8f 



Es bleibt uns jetzt nur noch übrig, eine andere früher aufgestellte 

 Behauptung nachzuweisen. Wir müssen zeigen, dass die oben be- 

 trachtete Function J, sobald sie nicht identisch verschwindet, eine In 

 Variante der adjuugierten Gruppe ist. gTu'?''« 



Wir sahen früher, dass, wenn Je'eO ist, bei der adjungierten 

 Gruppe keine Invariante nuUter Ordnung vorbanden ist, d. h. dass die 

 oben auftretende Zahl m = ist. Es giebt also hier nach Satz 14 

 keine zweigliedrige Involutions-Untergruppe, der UeiXif angehört. Man 

 könnte dies auch directer einsehen, worauf wir aber nicht eingehen 

 wollen. Wir schliessen weiter: Wenn J~fO ist, ist es also unmög- 

 lich, die Forderung 



{Ue,X,f, Ss,X,f)^0 



durch ein anderes Wertsystem s^..£r zu erfüllen als durch das System 

 ACj . . Xer, d. h. unter den Ausdrücken (UCiXif X^f) für Je = 1, 2 ..r 

 sind gerade r — 1 von einander unabhängige. Daher ist die erste 

 derivierte Gruppe der Gruppe X^f. .Xrf mindestens (r — l)-gliedrig. 



Die Function J ist also hei solchen r-gliedrigen Gruppen X^f.Xrf, 

 deren erste derivierte Gruppe weniger als (r — \)-gliedrig ist, sicher 

 identisch Nidl. 



Ferner wissen wir, dass, sobald «7e|e0 ist, die Gleichung': 



J=0 



bei der adjungierten Gruppe Ei f. . -K,/^ invariant ist. Also sind E^J. . E,J 

 sämtlich Null in Folge von J=0. Nun aber ist «7 eine ganze homo- 

 gene Function (r — 1)*°" Grades in e^ . . Cr, also auch E^J. . ErJ. 

 Daher kann EiJ nur dann vermöge J=0 verschwinden, wenn EiJ 

 die Form Const. • J hat. Also ist allgemein: 



EiJ = CiJ {i= \, 2..r). 



Es handelt sich darum, nachzuweisen, dass die r Constanten c, sämt- 

 lich Null sind. 



Es ist offenbar 



Ei{EkJ) — E,{EiJ) ~ CicJ— cCiJ^ 0. 

 Mithin lassen alle {EiEjc) die Function J invariant. Die erste derivierte 



