610 Kapitel 21, § 1. 



Satz 18: Ist Eif..Erfdie adjungierte Gruppe einer r-gliedrigen 

 Gruppe X^f . .Xrf und verschwinden nicht alle r- reihigen Determinanten 

 der Matrix von E^f . . Erf und 



df j_ df . , df ' 



so unterscheiden sich die r Determinanten, die durch Streichen einer der 

 r ersten Horizontalreihen der Matrix hervorgehen, nur um die hez. 

 Factoren e^. . Cr und eventuell durch das Vorzeichen von einer nicht ver- 

 schwindenden Function J, die ganz und homogen von r — 1*«' Ordnung 

 in e^ . . Cr ist. J ist alsdann Invariante der adjungierten Gruppe, und 

 Jede Invariante der adjungierten Gruppe ist eine Function von J allein. 



Unsere Betrachtungen lehren also, dass J die Invariante erster 

 Ordnung der adjungierten Gruppe ist. Übrigens haben wir auch ge- 

 sehen, dass J"nur bei solchen r-gliedrigen Gruppen als nicht identisch 

 verschwindend auftreten kann, deren erste derivierte Gruppen entweder 

 auch r-gliedrig oder aber (r — l)-gliedrig sind. Für beide Fälle 

 haben wir früher Beispiele augegeben. 



Wenn man diese Theorien verwertet, so kann man die in den 

 §§ 3, 4 gegebene Bestimmung aller viergliedrigen Zusammensetzungen 

 erheblich abkürzen. Wir gehen aber hierauf nicht weiter ein. 



Kapitel 21. 

 Höhere complexe Zahlensysteme. 



Die Theorie der höheren complexen Zahlensysteme bildet ein be- 

 sonderes Kapitel der Gruppentheorie. Als eine interessante Anwendung 

 der letzteren wollen wir daher die Elemente dieser Theorie an dieser 

 Stelle entwickeln. 



Zunächst wird es unsere Aufgabe sein, den Begriff: höheres com- 

 plexes Zahlensystem zu erklären. Dabei erscheint es uns angebracht, 

 eine knappe Übersicht über den Entwickelungsgang dieses Begriffs 

 einzuflechten. Zugleich geben wir die wichtigsten Sätze über Zahlen- 

 systeme, sowie schliesslich eine Reihe von Beispielen. 



§ 1. Begriff und ältere Geschichte der Zahlensysteme. 



Geben wir zunächst die allgemeinen Definitionen: 



Es sollen e, . . e„ n Grössen — wir nennen sie Einheiten — be- 



