Begriff und ältere Geschichte der Zahlensysteme. 611 



deuten, die nicht mit einander vergleichbar sind und von denen wir 

 vorerst nichts darüber voraussetzen, ob und in wie weit sie den ge- 

 wöhnlichen Rechenregeln folgen. Demgegenüber versterben wir unter 

 einer gewöhnlichen Zahl immer eine solche, die den gewöhnlichen 

 Regeln der Arithmetik Folge leistet, also eine Zahl von der allgemeinen 

 Form a -\- ßif in der a und ß reelle Zahlen sind und i =]/ — 1 ist. 

 Wir wollen übereinkommen, dass, wenn a eine gewöhnliche Zahl ist 

 das Product aek mit e^a gleichbedeutend sein soll. 



Sind x^ . . x„ irgend welche gewöhnliche Zahlen, so soll der 

 Ausdruck 



eine allgemeine complexe Zahl heissen. Wir bezeichnen sie kurz mit x. ^°^^^^^^ 

 Das Pluszeichen steht hier nur, um überhaupt eine Verknüpfung her- 

 zustellen *). 



Setzen wir nun Rechenregeln für diese Zahlen fest. Addition undg^^^^^^^^j«^-^ 

 Subtraction sollen die Operationen heissen, vermöge deren aus 



X 3yj 6j I ■ ■ I X)iC)iy 



y = yiCi -\ h y^Cn 



die beiden Zahlen folgen: 



(^1 + ^l)^l + (^2 + ^2)^2 H !-(«« + yn)en, 



wenn hier die Zeichen + in den Klammern die gewöhnliche Addition 

 und Subtraction andeuten. Das Ergebnis, die Summe bez. Differenz 

 von X und y, bezeichnen wir wie gewöhnlich mit x ■\- y und x — y. 

 Bekanntlich bestehen für die gewöhnliche Addition drei Funda- 

 mentalgesetze, nämlich erstens das associative Gesetze der 



o ' Addition. 



zweitens das commutative 



a -\- b = h -\- a, 



drittens giebt es eine Zahl Null, sodass 



a-\-0 = 0-\-a = a 



ist. Alle drei Gesetze werden von unseren höheren complexen Zahlen 



*) Eigentlich müssten wir statt des Pluszeichens ein anderes Zeichen ge- 

 brauchen, um Verwechselungen mit dem sogleich einzuführenden Zeichen der 

 Addition vor2aibeugen. Wir sehen davon ab, da schliesslich beide Verknüpfungen 

 doch dieselben Gesetze erfüllen. 



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