612 Kapitel 21, § 1, 



offenbar auch erfüllt*). Die Zahl Null wird von Xj^Ci -j- ■ . -{- XnC» 

 dann und nur dann dargestellt, wenn x^ . . x^ sämtlich verschwinden. 

 Denn wegen der Unvergleichbarkeit der Einheiten e^ . . e„ mit einander 

 ^i!S''dM"o^^^' ^^® "i^^i sag^ ^egen ihrer Irreducihüität soll zwischen ihnen 

 Einheiten. ]jeine lineare homogene Relation mit gewöhnlichen nicht sämtlich ver- 

 schwindenden Coefficienten bestehen. 



Mnitiphca- Uj^^ g-j^gjj MuUiplicationsjprocess zu definieren, knüpfen wir an die 

 Addition an: Wie bei den gewöhnlichen Zahlen beide Operationen 

 bSves ^urch das distributive Gesetz 



{a + h)(c + d) = ac + hc -{- ad + hd 



verknüpft sind, so wollen wir auch hier das distributive Gesetz auf- 

 recht erhalten. Danach ist das Product xy zweier höherer Zahlen 



Gesetz. 



cc^^xid, y=^: 

 1 1 



zunächst von der Form 



n 



(1) ^y =yjy^fXiykeiek 



Hier treten nun noch n^ Producte e.e^ auf. Wie wir diese definieren 

 wollen, steht völlig dahin. Auch braucht z. B. 6.6^ nicht gleich ejcCi 

 zu -sein. Wir wollen aber verlangen, dass jedes Product zweier höherer 

 complexer Zahlen wieder eine höhere complexe Zahl ist, dass also ins- 

 besondere jedes Product e.e^t eine solche Zahl ist: 



*) Man kann allgemein nach den Operationen 



x\ = f. {X, . .x^,y,.. yj (i = 1, 2 . . n) 

 fragen, welche die Grundgesetze 



fM^,y)^)=fi{.x,f{y, 0)), 

 fi {x, y) = fi {y, X) 

 erfüllen und bei denen eine Wertereihe a^ . . a^ existiert, für die 



f.{x, a) = f.{a, x) = a;. 



ist. Die Lie'schen Theoreme der Gruppentheorie zeigen ohne weiteres, dass man 

 stets solche neue Veränderliche Ei • • E,,, ^i • • t)„ durch cogrediente Transforma- 

 tionen einführen kann, dass für diese Veränderlichen die Operation lautet: 



l'i = h + ^i (*■= 1. 2..W). 

 Schur hat dies in den Math. Ann. 33 (1888), S. 49—60, nochmals entwickelt, 

 sowie die entsprechende Frage für den Multiplicationsprocess daselbst behandelt. 



