Begriflf und ältere Geschichte der Zahlensysteme. 613 



n 



(2) Cißk = ^kyiHes {i, k = 1, 2 . .n). 



1 



Die Coefficienten ya-a können wir — vorbehaltlich späterer Ein- 

 schränkungen — irgendwie als gewöhnliche Zahlen auswählen. Nun 

 wird das Product (1): 



l..n 



(3) a)y =^yiux,ykesj 



also ebenfalls eine complexe Zahl, nämlich 



xij = u = u^c^ -^ • • -\- u^e,, , 

 wenn «, die gewöhnliche Zahl 



n 



(4) «, =^2 T'ksXiyk (s = l,2.. n) 



1 

 bedeutet. 



Ferner setzen wir voraus, dass die zur Multiplication inverse Opera- wiviaiou, 



Hon, die Division, im allgemeinen ausführhar sei, d. h. dass sich y aus 



xy == u im allgemeinen bei gegebenem x und u und andererseits y 



auch aus yx = v im allgemeinen bei gegebenen x und v bestimmen 



lasse. Dies führt nach (4) zu der Voraussetzung, dass die heiden 



Determinanten 



^x = I ^yiksXi I , ^J r:^\ ^yiks 



Xk 



nicht identisch verschwinden sollen. Man bemerkt, dass es im all- 

 gemeinen zwei Arten der Division giebt. 



Endlich setzen wir noch voraus, dass die Multiplication das asso-Associatives 



ciative Gesetz 



{ah)c = aihc) 



erfülle*). Dies führt zu Bedingungen für die Coefficienten y,^, in (2). 



*) Auf ganz andere und wegen ihrer Bedeutung für die Gruppentheorie 

 wichtigere Zahlensysteme wird man geführt, wenn man statt des associativen 



Gesetzes die beiden Gesetze 



{ah) + (&a) = 

 und 



((a&)c) + ((&c)«) + ((c«)6) = 



zu Grunde legt. Denn diese Systeme stellen die Zusammensetzungen der Gruppen 

 dar. Es ist interessant zu bemerken, dass ausser diesen Systemen auch die im 

 Texte besprochenen in inniger Beziehung zur Gruppentheorie stehen, wie in den 

 späteren Paragraphen ausgeführt werden wird. 



