614 Kapitel 21, § 1. 



Es ist nämlich zunächst allgemein {xy)z = x{yz), sobald nur die Ein- 

 heiten das associative Gesetz erfüllen. Aber die Forderung 



• '{eiek)ei == e;(e^e,) 

 schreibt sich nach (2) so: 



;f ^ n^s 7 Sit et =2j 2^ yn. yut et , 

 1 1 



zerfällt also, da e^. . e„ irreducibel sind, in die einzelnen Bedingungen: 



n 



(ö) ^' {riks 7ät — Tkis Tist) = 



l 



{i, l^i^ t=l, 2 .. u). 



Die Constanten y^s, die gewöhnliche Zahlen sind, sollen also — 

 um es zusammenzufassen — einerseits diese Bedingungen (5) erfüllen 

 und andererseits so gewählt sein, dass .weder ^^ noch z/J identisch 

 Null ist. 



Hiermit sind alle Voraussetzungen erschöpft, die wir an ein 

 sysYenl: Zahlensystem stellen. Wir schreiben also, um es ausdrücklich hervor- 

 zuheben, der Multiplication nur vor, dass sie erstens mit der Addition 

 distributiv verknüpft sei, dass sie zweitens die inversen Operationen 

 zulasse, und dass sie drittens dem associativen Gesetze folge. Das 

 comnmtative Gesetz ah = ba schreiben wir dagegen der Mtdtiplication 

 nicht vor. 



Aus den gemachten Annahmen folgt, dass es eine Zahl, wir 

 nennen sie 



in unserem Systeme geben muss, für die stets 



JL/ c == €00 ^-— 00 



ist. In der That: Sei u = u,e^ -\ 1- M„e„ eine bestimmte Zahl, für 



die weder ^^ noch z/„' Null ist. Alsdann lassen sich aus der 

 Forderung 



ue = Uf 



die ja in n einzelne lineare Gleichungen für e^ . . e^ mit der Deter- 

 minante ^„ 4= zerfällt : 



^ ^ V^^^ ^i ^k = U, (s = 1, 2 . . w) , 



die Unbekannten s^ . . £„ vollständig bestimmen. Ganz ebenso lässt 

 sich, <la zfu=^0 ist, einsehen, dass es bei beliebig gegebener Zahl 



