Begriff und ältere Geschiclite der Zahlensysteme. 615 



X z= XiC^-j- • ■ -{- XnCn stets möglich ist, eine Zahl z = ZiCi -\ f- ^„e„ 



so zu berechnen, dass 



zu = X 



wird. Das associative Gesetz .giebt nun 



xa = {zii)E = z{iie) = zu = x, 



also X£ ='x bei beliebigem x. 



Um zu beweisen, dass auch sx == x ist, schicken wir voraus, dass 



aus einer Relation 



uy = 



sofort ^1=0, . . ijn = 0, also y = folgen würde, da diese Be- 

 dingung in n lineare homogene Gleichungen für y^ . . y,i mit nicht ver- 

 schwindender Determinante ^,, zerfällt. Es ist nun aber nach dem 

 associativen Gesetze und wegen us = u: 



U{£X) = (^ll£)x = UX 



oder 



u(£x) — UX ==■ 



oder, nach dem distributiven Gesetze: 



^ti{sx — x) = 0, 



sodass sx — X die Rolle des eben benutzten y spielt. Hieraus folgt^ 

 dass bei beliebigem x auch sx = x ist. 



Die Zahl s reproduciert also jede Zahl bei der Multiplication, sie 

 hat daher die wesentlichen Eigenschaften der Zahl Eins. Wir nennen 

 sie den 3Iodul des Zahlensystems. Man kann sofort einsehen, dass ^"y^^^^^^j;" 

 die Voraussetzung der Existenz eines Moduls umgekehrt nach sich 

 zieht, dass ^x und z// nicht identisch Null sind. Auch giebt es offen- 

 bar nur einen Modul im System. 



Hätten wir überall, wo bisher von gewöhnlichen Zahlen, also von Beispiel. 

 Zahlen von der Form a + ßi die Rede war, reelle Zahlen gesetzt, 

 w = 2 gewählt und y^i = 7^122 = ^212 =1; 7221 = — ^^ ^^^ übrigen 

 yucs gleich Null angenommen, also 



^1^1 = ^i> ^1^2 = ^2^1 = ^2; ^2^2 = — ^i 

 gesetzt, so hätten wir die Productregel 



{x^e, -f x^e^) (y^e, + ij^e.,) = {x^y^— oc^y^)^! + (ac^y., + a^at/Oe^ 



erhalten, die sich völlig deckt mit der Productregel der gewöhnlichen 

 Zahlen 



{x^ -f x^i) (y, + 2/2O = i^iVi — ^2^2) + (^i2/2 + ^22/i)«- 



